8.5 分布列与其他知识的综合运用（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8.5分布列与其他知识的综合运用（精练）1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为14，12，14，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为14，34.(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为14，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：134(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大【解析】（1）记事件1,2,3iAi表示第一局获得i分，事件1,2iBi表示第二局获得i分，这些事件相互独立，由条件知X的可能值为5，4，3，2.3232111(5)()()()4416PXPABPAPB；312213115(4)()()442416PXPABPAB；211213117(3)()()244416PXPABPAB；11133(2)()4416PXPAB.则其分布列为X5432P116516716316所以3517()5432161616161645213EX.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设小明每天赢得的局数为Y，则易知1~20,4YB，于是202013()C44kkkPYk.假设赢得k局的概率最大，则据条件得201211202020119120201313CC44441313CC4444kkkkkkkkkkkk，即201212011920132013!(20)!44(1)!(21)!4420132013!(20)!44(1)!(19)!44kkkkkkkkkkkkkkkk！！！！，整理得11134214131120414kkkk，解之得172144k，又因为Zk，所以5k，因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.2．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的56，女性患A型疾病的人数占女性患者的13.A型病B型病合计男女合计(1)填写22列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为0mm元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为01pp，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若23p，试验人数为1000人，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】试估计该试验用于接种疫苗的总费用.22nadbcKabcdacbd，20PKk0.100.050.010.0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；(2)340009m元【解析】（1）设男性患者有x人，则女性患者有2x人，22列联表如下：A型病B型病合计男56x6xx女23x43x2x合计32x32x3x假设0H：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据22542326363333222xxxxxxKxxxx，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则27.8793x，解得11.8185x，因为Z6x，Z3x，所以x的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人.（2）设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为3m，6m.则2233233C123Pmppppp，326123Pmpp，所以32323232361233232Emppmppmpp，因为23p，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为1000E，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以32223400010003232339mm元.3．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）随着人们收入水平的提高，特色化､差异化农产品的消费需求快速增长，精品农产品获得广大消费者的认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标的水果，再按重量进行分类装箱.现从同批采摘､分拣后堆积的水果堆中随机抽取了30个水果进行称重（为方便称重，按5克为一级进行分级），统计对应的水果重量，得柱状图如下.(1)估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量（精确到整数位）；(2)在样本内，从重量不低于80克的水果中，随机选取2个，记其中选取到水果重量不低于90克的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取n个水果，若要求其中至少有一个水果的重量不低于80克的概率不低于90%，求n的最小值.【答案】(1)75克(2)分布列见解析，1()2EX(3)5【解析】（1）根据柱状图可知该批采摘的水果的单个水果的平均重量为3603654708756803853907530（克）；（2）样本中重量不低于80克的水果有63312个，其中重量不低于90克的有3个，所以X的可能取值为0，1，2，29212C366(0)C6611PX，1193212CC279(1)C6622PX，23212C31(2)C6622PX，所以X的分布列为X012P611922122资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以6911()0121122222EX；（3）由题意得3348190%30n，得180.130n，即31510n，因为430.12965，530.077765，且*3(N)5nyn为减函数，所以当31510n的解集为*5,Nnnn，所以n的最小值为5.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为13，并且规定若第1,2,,1iin题正确选项为两个，则第1i+题正确选项为两个的概率为13；第1,2,,1iin题正确选项为三个，则第1i+题正确选项为三个的概率为13.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：1718EY.【答案】(1)分布列见解析；119(2)111223n(3)证明见解析【解析】（1）设事件2C表示正确选项为2个，事件3C表示正确选项为3个，2nPC表示第n题正确选项为2个的概率，3nPC表示第n题正确选项为3个的概率.设事件C表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量X表示第二题得分.依题得，X可能取值为02，.因为22121312112253333339PCPCPC，2322419PCPC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以23332223232344CC54151470C9C9294918PXPCCPCPCCPC12332223232344CC541534112C9C9294918PXPCCPCPCCPC所以X的分布列为:X02P7181118所以711110218189EX.（2）依题得，12232221212211333333nnnnnnPCPCPCPCPCPC，所以122111232nnPCPC，又因为1211112326PC，所以212nPC是以16为首项，以13为公比的等比数列.所以121111126323nnnPC，2111223nnPC.（3）由（2）可知，2111223nnPC，321111223nnnPCPC.依题得，Y可能取值为025，，.23234452511111112110CC62232223363nnnnnPYPCPC23342111111120C2223443nnnnPYPCPC，23241111111150C622312123nnnnPYPCPC，所以11111111111725443121231212318nnnEY.5（2024·江西·校联考模拟预测）近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的市民401050年龄超过45岁的市民203050合计6040100(1)是否有0099.9的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？(2)M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A，B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一