9.4 抛物线（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9.4抛物线（精练）1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点到该抛物线焦点F的距离为（）A．225mB．275mC．330mD．380m【答案】A【解析】令抛物线方程为22xpy且0p，由题设(250,156.25)在抛物线上，则2312.5250p，得2250200312.5p，又,PPPxy且125Py，则P到该抛物线焦点F的距离为1251002252Ppy米.故选：A2．（2023春·河北廊坊）已知抛物线2:8Cyx，过点1,0的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为（）A．8B．8C．4D．4【答案】A【解析】设l的方程为1xty，联立218xtyyx，得2880yty，则8AByy，所以22164ABAByyxx，所以881ABAByyxx．故选：A3．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，若直线4x与C交于A，B两点，且8AB，则AF（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】令4x，则28yp，故22yp，所以428ABp，所以2p，故准线为=1x，则4(1)5AF.故选：B4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：28yx，过点2,1P的直线l与抛物线C交于A，B两点，若APBP，则直线l的斜率是（）A．4B．4C．14D．14【答案】A【解析】设1122,,,AxyBxy，则2112228,8,yxyx作差得2212128yyxx.因为APBP，所以P是线段AB的中点，所以122yy，则直线l的斜率12121284yykxxyy.故选：A5．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线2:18Cyx于M，N两点，且MN的中点为5,3，则直线l的斜率为（）A．95B．32C．3D．185【答案】C【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，1122,,,MxyNxy，则2112221818yxyx，两式相减得22121218yyxx，整理得12121218yyxxyy，因为MN的中点为5,3，则126yy，所以12121836yykxx，即直线l的斜率为3．故选：C．6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）F为C：22(0)ypxp的焦点，点M在曲线C上，且M在第一象限，若3MF，且直线MF斜率为22，则MFO△的面积（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1B．2C．2D．22【答案】B【解析】如图，设点,2Mxpx，0x32pMFx，所以32px，由题意2222pxpx，所以232223ppp，得2p，或12p（舍去），所以2,22M，112222MFOS，故选：B7．（2023春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线2:8Cxy的焦点为F，准线为00,,lPxy为C上一动点，2,1A，则下列结论正确的是（）A．当04x时，PF的值为4B．当02x时，抛物线C在点P处的切线方程为220xyC．PAPF的最小值为3D．PAPF的最大值为5【答案】ACD【解析】对于A，当04x时，02y，故024PFy，故A正确；对于B，当02x时，012y，由228,8xxyy可得4xy，所以212xy，所以抛物线C在点P处的切线资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方程为11222yx，整理得：210xy，故B错误；对于C，如图，过点P作PB准线于点B，则由抛物线定义可知：PFPB，则PAPFPAPB，当APB､､三点共线时，和最小，最小值为123，故C正确；对于D，由题意得：0,2F，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即PAPF取最大值的点，此时415PAPFAF，其他位置的点P，由三角形两边之差小于第三边得：5PAPFAF，故PAPF的最大值为5，故D正确.故选：ACD8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线26yx的焦点为F，P为抛物线上的动点，若点A不在抛物线上，且满足PAPF的最小值为92，则AF的值可以为（）A．92B．3C．32D．54【答案】ABC资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】如上图所示，若A在抛物线内，易知3,02F，抛物线的准线为32x，过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛物线于P，由抛物线的定义知PAPFPAPEAB，当且仅当A、P、B三点共线时，即PP¢、重合时取得最小值，39322AAABxx，又A在抛物线内，故23618Ay，所以2233392222AAAxAFxy，即39,22AF；若A在抛物线外，连接AF交抛物线于G点，则PAPFAF，当且仅当PG、重合时取得最小值，此时即92AF.综上39,22AF.故选：ABC9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F（2，0）作斜率为3的弦AB，其中点A在第一象限，则（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．AOFBOFB．90AOBC．163ABD．3AFFB【答案】BD【解析】抛物线方程为28yx，设直线AB的方程32yx，代入28yx得2320120xx，设1122,,,AxyBxy，则12121212122206,,,4,641633xxxxxxyyxx，对A：显然,AB不关于x轴对称，故AOFBOF，A错误；对B：12120OAOBxxyy，所以90AOB，B正确；对C：1232133ABxx，C错误；对D：11223AFyxFByx，D正确.故选：BD10．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线22(0)ypxp焦点为F，准线上有点(,23),2pMQ是抛物线上一点，MQF为等边三角形，则Q点坐标为．【答案】(3,23)【解析】抛物线22(0)ypxp焦点为F，点(,23)2pM在准线2px上，在等边MQF中，||||QMQF，因此QM长等于点Q到准线的距离，即有QM与抛物线准线垂直，令抛物线准线与x轴交于点N，则||23MN，由//QMx轴，得60MFNQMF，于是||||||2,||||4tan60sin60MNMNpFNQMMF，令0(,23)Qx，则042px，解得03x，所以Q点坐标为(3,23).资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：(3,23)11．（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C：220ypxp的焦点为F，点M在C上，5MF，若以MF为直径的圆过点0,2，则C的方程为.【答案】24yx或216yx.【解析】由题意得,02pF，设,Mxy，则由抛物线的定义得52pMFx，则52px，所以圆心的横坐标为552222pp，其半径也为52，所以圆与y轴相切，又因为以MF为直径的圆过点0,2，所以切点为0,2，所以圆心为5,22，则5,42pM，又因为点M在抛物线上，所以16252pp，即210160pp，解得2p或8p，所以抛物线方程为：24yx或216yx.故答案为：24yx或216yx.12．（2023春·广东广州）已知点M为拋物线22yx上的动点，点N为圆22(4)5xy上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.【答案】652512【解析】由题可知，抛物线22yx的准线方程为1=2x，焦点坐标为1(,0)2F，过点M作MHy轴交y轴于点H，由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为12MHMF，圆22(4)5xy的圆心坐标为0,4E，半径为5R，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和12MHMNMFMN，根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为16516525152222EFR，当且仅当E、N、M、F四点共线（N、M在EF之间）时取等号.故答案为：652512.13．（2023·福建）已如3,3P，M是抛物线24yx上的动点（异于顶点），过M作圆22:24Cxy的切线，切点为A，则MAMP的最小值为.【答案】3【解析】依题意，设000(,),0Mxyx，有2004yx，圆22:(2)4Cxy的圆心(2,0)C，半径2r，于是222220000||||(2)4MAMCrxyxx，因此0MAMPxMP，表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离的和，而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，0xMP取得最小值3，所以MAMP的最小值为3.故答案为：3.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知00,Pxy是抛物线24yx上一点，则0005213xxy的最小值为.【答案】155/515【解析】由题可知，过抛物线24yx上的动点00,Pxy作直线:2130lxy的垂线交直线于M，过点00,Pxy作y轴的垂线交y轴于Q，交准线于G点，F为抛物线焦点.由24yx，得2p，所以1,0F，如图所示则00|213|,5xyPM动点00,Pxy到y轴的距离为000||(0).PQxxx所以000|213|115xyxPMPQPMPGPMPF,当且仅当FPM、、三点共线时，PMPQ有最小值，即11PMPQPMPFMF,(MF为点F到直线l的距离).所以1,0F到直线:2130lxy的距离为210131535.55MF所以000|213|13515xyxMF，所以000000|2153|351552135515xyxxxy.所以0005213xxy的最小值为155.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：155.15．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点2,4A在抛物线C：22ypx上，则A到焦点F的距离为．【答案】4【解析】因为2,4A在22ypx上，故4p，A到准线的距离为2242pdx，故A到焦点F的距离为4.故答案为：416．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点1,2A在抛物线C：22ypx上，则点A到抛物线C的准线的距离为．【答案】2【解析】因为1,2A在抛物线C：22ypx上，所以42p，解得2p，故抛物线C的准线为=1x，所以点A到抛物线C的准线的距离为112.故答案为：2.17．（2022秋·陕西渭南）设抛物线28yx的焦点为F