专题13 导数的运算法则在抽象函数中的应用（原卷版）

专题13导数的运算法则在抽象函数中的应用一、考情分析导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.二、解题秘籍(一)抽象函数的奇偶性及应用若可导函数fx是偶（奇）函数，则fx是奇（偶）函数.【例1】已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，23fx是偶函数，记gxfx，2gx也是偶函数，求2023f的值.【解析】因为23fx是偶函数，所以23fx是奇函数，即2323fxfx，所以2323gxgx，所以6gxgx，令3x可得33gg，即03g，因为2gx为偶函数，所以22gxgx，即4gxgx，所以64gxgx，即2gxgx，得4gxgx，所以4是函数gx的一个周期，所以2023202330fgg．(二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子fxk,可构造函数yfxkxb，给出式子fxkx,可构造函数212yfxxb，一般地，若给出fxgx通常构造函数yfxgxc.【例2】已知()()yfxxR的导函数()fx满足()3fx且(1)3f，求不等式()3fxx的解集．【解析】令()()3Fxfxx，则30Fxfx，∴()Fx在R上为单调递增．又∵(1)3f，∴(1)(1)30Ff，则()3fxx可转化为()0(1)FxF，根据()Fx单调性可知不等式()3fxx的解集为(1,)．(三)积型抽象函数的应用若给出形如fxgxfxgx的式子通常构造函数yfxgxc，如给出xfxnfx可构造函数nyxfx，如给出fxnfx，可构造函数enxyfx，如给出tanfxfxx，可构造函数sinyfxx.【例3】设fx是定义在0,上的非负可导函数，且满足0xfxfx，当0ba时，证明:afbbfa.【解析】()fx是定义在(0,)上的非负可导函数，且满足0xfxfx，故fx不为常数函数，且0fx，构造函数()()gxxfx，则0gxxfxfx，()gx在(0,)上单调递减，又0ba，且0fx，故()()0gagb，则0afabfb①，又220ba，所以22110ab②，①②两式相乘得0fafbab，即afbbfa.【例4】设定义在R上的函数fx的导函数为fx，若2fxfx，02024f，求不等式2022()2exfx（其中e为自然对数的底数）的解集【解析】设()e()2exxgxfx，则ee2ee2xxxxgxfxfxfxfx,∵2fxfx，∴20fxfx,而e0x,故()e()()20xgxfxfx,∴gx在R上单调递增，又02024f，故0022022gf，∴2022gx的解集为(0,)，即不等式2022()2exfx的解集为(0,).【例5】定义在(0,)2上的函数()fx，其导函数是()fx，且恒有()()tanfxfxx成立，比较36f与3f的大小.【解析】因为(0,)2x，所以sin0x，cos0x．由()()tanfxfxx，得()cos()sinfxxfxx．即()sin()cos0fxxfxx．令()()sinfxgxx，(0,)2x，则2()sin()cos()0fxxfxxgxsinx．所以函数()()sinfxgxx在(0,)2x上为增函数，则()(6gg)3，即()()63sinsin63ff，所以()()631322ff，即3()()63ff．(四)商型抽象函数的应用若给出形如fxgxfxgx的式子通常构造函数fxycgx，如给出xfxnfx可构造函数nfxyx，给出fxnfx，可构造函数nxfxye，给出tanfxfxx，可构造函数sinfxyx.【例6】已知函数fx在0,1恒有2xfxfx，其中fx为函数fx的导数，若，为锐角三角形两个内角，比较22cos(sin),sin(cos)ff的大小.【解析】设2()01fxgxxx，则243220xfxxfxxfxfxgxxx所以函数gx在0,1上单调递增.，为锐角三角形两个内角,则2所以022，由正弦函数sinyx在0,2上单调递增.则0cossinsin12所以cossingg，即22cossincossinff所以22sincoscossinff.(五)根据fxfxgx构造函数若给出形如fxfxgx的式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数()fx在R上存在导函数'()fx,xR,有3()()fxfxx,在(0,)上有22'()30fxx,若2(2)()364fmfmmm,求实数m的取值范围.【解析】因为3fxfxx,所以33()()()22xxfxfx令3()()()()2xgxfxgxgx即函数()gx为偶函数,因为0,上有22'30fxx,所以23()()02xgxfx即函数()gx在(0,)单调递增；又因为22364fmfmmm所以33(2)(2)()(2)()22mmgmgmfmfm2(2)()3640fmfmmm即(2)()gmgm,所以2mm,解得1m,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在R上的函数fx的导函数为fx，若1fx对任意xR恒成立，则称函数fx为“线性控制函数”.(1)判断函数sinfxx和exgx是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数fx为“线性控制函数”，且fx在R上严格增，设AB､为函数fx图像上互异的两点，设直线AB的斜率为k，判断命题“01k”的真假，并说明理由；(3)若函数fx为“线性控制函数”，且fx是以(0)TT为周期的周期函数，证明：对任意12,xx都有12fxfxT.【解析】（1）cos1fxx，故sinfxx是“线性控制函数”；1e1g，故exgx不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设1122,,,AxfxBxfx，其中12xx由于fx在R上严格增，故12fxfx，因此12120fxfxkxx由于fx为“线性控制函数”，故1fx，即10fx令Fxfxx，故10Fxfx，因此Fx在R上为减函数112212121212121101fxxfxxfxfxFxFxkkxxxxxx，综上所述，01k，即命题“01k”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意ab都有1fafbkab由于fx为“线性控制函数”，故1fx，即10fx令Gxfxx，故10Gxfx，因此Fx在R上为增函数101faafbbfafbGaGbfafbabababab因此对任意ab都有1,1fafbab，即1fafbab当12xx时，则120fxfxT恒成立当12xx时，若21xxT，则1212121fxfxfxfxxxT，故12fxfxT若21xxT时，则存在311,xxxT使得32fxfx故1131313fxfxfxfxxxT，因此1213fxfxfxfxT综上所述，对任意12,xx都有12fxfxT.（事实上，对任意12,xx都有122Tfxfx，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．(1)设221,8fxxgxxxm．若曲线yfx与曲线ygx在点P处相切，求m的值；(2)设3hxx，若圆M：2220xybrr与曲线yhx在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；(3)若函数yfx是定义在R上的连续可导函数，导函数为yfx，且满足fxfx和2fx都恒成立.是否存在点P，使得曲线sinyfxx和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．【解析】（1）设点11(,)Pxy，由22()1,()8fxxgxxxm，求导得()2,()28fxxgxx，于是11228xx，解得12x，由11()()fxgx，得2212282m，解得9m，所以m的值为9.（2）设切点3222(,),0Qxxx，由3hxx求导得2()3hxx，则切线的斜率为222()3hxx，又圆M：222()xybr的圆心(0,)Mb，直线MQ的斜率为322xbx，则由3222213xxxb，得32213bxx，令31(),03xxxx，求导得221()33xxx，当303x时，()0x，当33x时，()0x，即函数()x在3(0,)3上递减，在3(,)3上递增，因此当33x时，min343()()39x，所以当233x时，min439b.（3）假设存在0(,1)Px满足题意，则有00()sin1fxx，对函数()sinyfxx求导得：()sin()cosyfxxfxx，于是0000()sin()cos0fxxfxx，即0000()sin()cosfxxfxx，平方得222222000000[()]sin[()]cos[()](1sin)fxxfxxfxx，即有2222200000[()]sin[()]sin[()]fxxfxxfx，因此2200201[()]1[()][()]fxfxfx，整理得224000[()][()][()]fxfxfx，而恒有fxfx成立，则有2200[()][()]fxfx，从而4200[()]2[()]fxfx，显然0()0fx，于是20[()]2fx，即0|