专题06 平面向量（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1专题06平面向量目录一览2023真题展现考向一平面向量的坐标运算考向二平面向量的数量积运算真题考查解读近年真题对比考向一平面向量的数量积运算考向二平面向量的线性运算考向三平面向量的坐标运算命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一平面向量的坐标运算1．（2023•新高考Ⅰ•第3题）已知向量𝑎→=（1，1），𝑏→=（1，﹣1）．若（𝑎→+λ𝑏→）⊥（𝑎→+μ𝑏→），则（）A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1【答案】D解：∵𝑎→=（1，1），𝑏→=（1，﹣1），∴𝑎→+λ𝑏→=（λ+1，1﹣λ），𝑎→+μ𝑏→=（μ+1，1﹣μ），由（𝑎→+λ𝑏→）⊥（𝑎→+μ𝑏→），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．考向二平面向量的数量积运算2．（2023•新高考Ⅱ•第13题）已知向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→−𝑏→|=√3，|𝑎→+𝑏→|＝|2𝑎→−𝑏→|，则|𝑏→|＝．【答案】√3解：∵|𝑎→−𝑏→|=√3，|𝑎→+𝑏→|＝|2𝑎→−𝑏→|，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2∴𝑎→2+𝑏→2−2𝑎→⋅𝑏→=3，𝑎→2+𝑏→2+2𝑎→⋅𝑏→=4𝑎→2+𝑏→2−4𝑎→⋅𝑏→，∴𝑎→2=2𝑎→⋅𝑏→，∴𝑏→2=3，∴|𝑏→|=√3．【命题意图】考查平面向量基本定理、加减法运算、向量数量积的坐标与模长运算，会进行数量积的运算，会用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断向量的垂直关系，会用坐标运算表示向量的平行关系．【考查要点】平面向量是高考必考内容．常考查平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等．体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力．【得分要点】1．向量的数量积概念及运算：（1）定义：如果两个非零向量𝑎→，𝑏→的夹角为θ，那么我们把|𝑎→||𝑏→|cosθ叫做𝑎→与𝑏→的数量积，记做𝑎→⋅𝑏→．即：𝑎→⋅𝑏→=|𝑎→||𝑏→|cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•𝑎→=0．（2）投影：𝑏→在𝑎→上的投影是一个数量|𝑏→|cosθ．（3）坐标计算公式：若𝑎→=（x1，y1），𝑏→=（x2，y2），则𝑎→⋅𝑏→=x1x2+y1y2．2．平面向量数量积的性质：设𝑎→，𝑏→都是非零向量，𝑒→是与𝑏→方向相同的单位向量，𝑎→与𝑏→和夹角为θ，则：（1）𝑎→⋅𝑒→=𝑒→⋅𝑎→=|𝑎→|cosθ．（2）𝑎→⊥𝑏→⇔𝑎→⋅𝑏→=0；（判定两向量垂直的充要条件）．（3）当𝑎→，𝑏→方向相同时，𝑎→⋅𝑏→=|𝑎→||𝑏→|；当𝑎→，𝑏→方向相反时，𝑎→⋅𝑏→=−|𝑎→||𝑏→|；特别地：𝑎→⋅𝑎→=|𝑎→|2或|𝑎→|=√𝑎→⋅𝑎→（用于计算向量的模）．（4）cosθ=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→||𝑏→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）．（5）|𝑎→⋅𝑏→|≤|𝑎→||𝑏→|．3．平面向量数量积的运算律（1）交换律：𝑎→⋅𝑏→=𝑏→⋅𝑎→；（2）数乘向量的结合律：（λ𝑎→）•𝑏→=λ（𝑎→⋅𝑏→）=𝑎→•（𝜆𝑏→）；（3）分配律：（𝑎→⋅𝑏→）•𝑐→≠𝑎→•（𝑏→⋅𝑐→）．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3考向一平面向量的数量积运算3．（多选）（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•【解答】解：法一、∵P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），∴＝（cosα，sinα），＝（cosβ，﹣sinβ），＝（cos（α+β），sin（α+β）），＝（1，0），，，则，，则||＝||，故A正确；＝＝，＝＝，||≠||，故B错误；＝1×cos（α+β）+0×sin（α+β）＝cos（α+β），＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β），∴•＝•，故C正确；＝1×cosα+0×sinα＝cosα，＝cosβcos（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cos[β+（α+β）]＝cos（α+2β），∴•≠•，故D错误．故选：AC．法二、如图建立平面直角坐标系，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4A（1，0），作出单位圆O，并作出角α，β，﹣β，使角α的始边与OA重合，终边交圆O于点P1，角β的始边为OP1，终边交圆O于P3，角﹣β的始边为OA，交圆O于P2，于是P1（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P2（cosβ，﹣sinβ），由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误．故选：AC．4．（2021•新高考Ⅱ）已知向量++＝，||＝1，||＝||＝2，则•+•+•＝．【解答】解：方法1：由++＝得+＝﹣或+＝﹣或+＝﹣，∴（+）2＝（﹣）2或（+）2＝（﹣）2或（+）2＝（﹣）2，又∵||＝1，||＝||＝2，∴5+2•＝4，5+2＝4，8+2＝1，∴•＝，•＝，•＝，∴•+•+•＝﹣．故答案为：﹣．方法2：•+•+•＝＝＝﹣．故答案为：﹣．考向二平面向量的线性运算5．（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3【解答】解：如图，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5＝，∴，即．故选：B．考向三平面向量的坐标运算6．（2022•新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（）A．﹣6B．﹣5C．5D．6【解答】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，∴＝（3+t，4），∵＜，＞＝＜，＞，∴＝，∴＝，解得实数t＝5．故选：C．高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。一．向量的概念与向量的模（共5小题）1．（2023•谷城县校级模拟）已知平面上直线的方向向量＝（﹣，），点O（0，0）和A（1，﹣2）在l上的射影分别是O′和A′，则＝λ，其中λ＝（）A．B．﹣C．2D．﹣2【解答】解：∵O（0，0）和A（1，﹣2）∴＝（1，﹣2）则在l上的投影有：||＝||＝2资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6又由与的方向相反，||＝1故由＝λ得λ＝﹣2故选：D．2．（2023•鼓楼区校级模拟）已知，，则＝（）A．2B．4C．D．【解答】解：由题意，可得，即＝（）2＝﹣2+，又，＝1，代入可得4＝1﹣2+4，解得＝，所以＝＝＝＝4，故选：B．3．（多选）（2023•抚松县校级模拟）下列说法正确的是（）A．设是非零向量，且，则B．若z1，z2为复数，则|z1•z2|＝|z1|•|z2|C．设是非零向量，若，则D．设z1，z2为复数，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0【解答】解：对选项A：是非零向量，且，则或，错误；对选项B：设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，，，正确；对选项C：，则，整理得到，正确；对选项D：取z1＝1，z2＝i，满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，z1z2＝i，错误；故选：BC．4．（2023•简阳市校级模拟）已知点M在直线BC上，点A在直线BC外，若，且，，则的最小值为．【解答】解：根据题意，当AM⊥BC时，最小，由，∴，∴，即AB⊥AC，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7∴，∴当AM⊥BC时，由面积法得，，所以的最小值为．故答案为：．5．（2023•兴庆区校级一模）等腰直角△ABC的斜边AB的端点分别在x，y的正半轴上移动（C点不与原点O重合），AB＝2，若点D为AB中点，则的取值范围是．【解答】解：如图，设∠OAB＝θ，，则A（2cosθ，0），B（0.2sinθ），线段AB的中点D（cosθ，sinθ），∴∠OAC＝，AC＝，则有C（2cosθ﹣cos（），sin（）），又＝（﹣2cos（），sin（）﹣2sinθ），∴|﹣2|＝＝＝，由得0＜sin2θ≤1，故答案为：0≤||．二．向量相等与共线（共5小题）6．（2023•泸县校级模拟）设平面向量＝（1，2），＝（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4B．5C．D．【解答】解：∵∥，∴﹣2×2﹣y＝0，解得y＝﹣4．∴＝2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）＝（4，8），资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8∴|2﹣|＝＝．故选：D．7．（2023•临汾模拟）已知为不共线的非零向量，，，，则（）A．A，B，C三点共线B．A，B、D三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线【解答】解：∵，，∴不存在λ，使＝λ，故A，B，C三点不共线，故选项A错误；∵＝+＝+5，∴＝，∴A，B、D三点共线，故选项B正确；∵，，∴不存在λ，使＝λ，故B，C，D三点不共线，故选项C错误；∵＝+＝﹣+13，，∴不存在λ，使＝λ，故A，D，C三点不共线，故选项D错误；故选：B．8．（2023•雁塔区校级模拟）若平行四边形ABCD满足，，则该四边形一定是．【解答】解：⇒＝⇒四边形ABCD为平行四边形，⇒⊥，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．故答案为：菱形．9．（2023•重庆模拟）已知向量与为一组基底，若与平行，则实数m＝．【解答】解：∵与平行，∴设＝k()，由∵向量与为一组基底，∴,解得：m＝2．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】9故m的值为：2．10．（2023•青羊区校级模拟）若，是两个不共线的向量，已知＝2+k，＝+3，＝2﹣，若A，B，D三点共线，则k＝．【解答】解：＝（2﹣）﹣（+3）＝﹣4因为A，B，D三点共线，所以＝，已知＝2+k，＝﹣4，λ﹣4λ＝2+k，所以k＝﹣8，故答案为：﹣8．三．向量数乘和线性运算（共4小题）11．（2023•兴庆区校级四模）已知AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，且＝，＝，则＝（）A．+B．+C．+D．+【解答】解：∵，，，．∴，解得．故选：C．12．（2023•湖南模拟）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．2B．C．D．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则＝（1，），＝（﹣，1），＝（1，1）．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】10∵＝λ+μ，∴，解得．∴λ+μ＝．故选：D．13．（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．∴x2+4x2＝1，解得x＝．设∠BAE＝θ，则sinθ＝，cosθ＝．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】11∴xE＝cosθ＝，yE＝sinθ＝．设＝m+n，则（，）＝m（1，0）+n（0，1）．∴m＝，n＝．∴＝+，另解：过E分别作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．通过三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．即可得出结论．故选：A．14．（2023•涟源市模拟）