专题12 椭圆（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题12椭圆目录一览2023真题展现考向一椭圆的性质考向二直线与椭圆相交问题真题考查解读近年真题对比考向一椭圆的性质考向二直线与椭圆相交问题命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一椭圆的性质1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C1：𝑥2𝑎2+y2＝1（a＞1），C2：𝑥24+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2=√3e1，则a＝（）A．2√33B．√2C．√3D．√6【答案】A解：由椭圆C2：𝑥24+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2=√4−1=√3，∴椭圆C2的离心率为e2=√32，∵e2=√3e1，∴e1=12，∴𝑐1𝑎1=12，∴𝑎12=4𝑐12=4（𝑎12−𝑏12）＝4（𝑎12−1），∴a=2√33或a=−2√33（舍去）．考向二直线与椭圆相交问题2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C：𝑥23+𝑦2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．23B．√23C．−√23D．−23【答案】C解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：𝑥23+𝑦2=1的左，右焦点分别为F1（−√2，0），F2（√2，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|−√2−xM|＝2|√2−xM|，解得xM=√23或xM＝3√2，∴﹣m=√23或﹣m＝3√2，∴m=−√23或m＝﹣3√2，联立{𝑥23+𝑦2=1𝑦=𝑥+𝑚可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3√2不符合题意，故m=−√23．【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若1212||||||MFMFFF，M的轨迹为线段21FF；②若1212||||||MFMFFF，M的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca(0e1)（注：e＝1－b2a2＝11＋b2c2.）三、椭圆的焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面积公式：S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.重要结论：S△PF1F2=2tan2b推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得2224||+||-2||||(1cos121cPFPFPFPF（））2212442||||(1cos)caPFPF2122||||1cosbPFPF由三角形的面积公式可得S△PF1F2=121|PF||PF|sin2资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】=222222sincos12sin22sintan21cos1cos2cos2bbbb注：S△PF1F2=2tan2b=||pyc=rca)(（r是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，12FPF最大.四、点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.五、直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系，判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消y得一元二次方程．当Δ0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ0时，方程无解，直线与椭圆相离．六、直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.注：（1）已知弦AB是椭圆22221xyab（0ab）的一条弦，中点M坐标为00(,)xy，则AB的斜率资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为2020bxay，运用点差法求AB的斜率，设11(,)Axy，22(,)Bxy；A、B都在椭圆上，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220xxyyab，1212121222()()()()0xxxxyyyyab即22012122212120bxyyxxbxxayyay，故2020ABbxkay（2）弦AB的斜率与弦中心M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值：22ab考向一椭圆的性质3．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【解答】解：F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，所以|MF1|•|MF2|≤＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，取等号，所以|MF1|•|MF2|的最大值为9．故选：C．4．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则kOE•kAB＝•＝＝﹣，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），∴E（﹣，），∴kOE＝﹣k，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．考向二直线与椭圆相交问题5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．故答案为：13．根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。一．椭圆的标准方程（共2小题）1．（2023•宜宾模拟）“1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程+＝1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m＝2时，满足1＜m＜3，但此时方程+＝1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B．2．（2023•江西模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：由于椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，所以设椭圆的方程为（a＞b＞0），由于离心率为，所以，满足条件的椭圆方程为（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．二．椭圆的性质（共43小题）3．（2023•全国模拟）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：设椭圆的半短轴长为b，半焦距为c，则，△AF1F2的面积，由题意得，∴c＝1，，由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，则△AF1F2的周长为4+2＝6．故选：C．4．（2023•武昌区校级模拟）设F1，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，点P为椭圆上异于A点的任意一点，则使得成立的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵，∴P在以F1A为直径的圆上，又P在椭圆上，所以该圆与椭圆有三个公共点，又P点与A点不重合，故符合条件的点P的个数有2个．故选：B．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023•白山二模）已知椭圆C：+＝1的离心率为，则C的长轴长为（）A．8B．4C．2D．4【解答】解：∵椭圆C的离心率为，∴＝，解得m＝2，故椭圆C：+＝1的长轴长为2＝4，故选：B．6．（2023•甘肃模拟）已知椭圆的方程为（m＞0，n＞0），离心率，则下列选项中不满足条件的为（）A．B．+＝1C．D．x2+4y2＝1【解答】解：由，可得a＝2，b＝1，∴c＝＝，故离心率，故A正确；由+＝1，可得a＝2，b＝，∴c＝＝，故离心率e＝＝，故B正确；由，可得a＝，b＝1，∴c＝＝1，故离心率e＝＝，故C不正确；由x2+4y2＝1，可得x2+＝1，可得a＝1，b＝，c＝＝，故离心率e＝，故D正确．故选：C．7．（2023•射洪市校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），准线为x＝﹣1，设椭圆的方程为，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】椭圆中，c＝1，当x＝﹣1时，，故，又a2＝b2+c2，所以，故椭圆方程为．故选：B．8．（2023•桐城市校级二模