专题08 计数原理、概率及统计（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题08计数原理、概率及统计考点一众数、中位数、平均数1．【多选】（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据1x，2x，，6x，其中1x是最小值，6x是最大值，则()A．2x，3x，4x，5x的平均数等于1x，2x，，6x的平均数B．2x，3x，4x，5x的中位数等于1x，2x，，6x的中位数C．2x，3x，4x，5x的标准差不小于1x，2x，，6x的标准差D．2x，3x，4x，5x的极差不大于1x，2x，，6x的极差【解析】A选项，2x，3x，4x，5x的平均数不一定等于1x，2x，，6x的平均数，A错误；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2B选项，2x，3x，4x，5x的中位数等于342xx，1x，2x，，6x的中位数等于342xx，B正确；C选项，设样本数据1x，2x，，6x为0，1，2，8，9，10，可知1x，2x，，6x的平均数是5，2x，3x，4x，5x的平均数是5，1x，2x，，6x的方差22222221150[(05)(15)(25)(85)(95)(105)]63s，2x，3x，4x，5x的方差222222125[(15)(25)(85)(95)]42s，2212ss，12ss，C错误．D选项，65xx，21xx，6152xxxx，D正确．故选：BD．2．（2023•上海）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为．【解析】设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232241xy，中位数与平均数相同，23224124xyxy，473xy，该地一年的GDP为232241946xy（亿元）．故答案为：946（亿元）．3．（2020•上海）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab．【解析】因为四个数的平均数为4，所以441213ab，因为中位数是3，所以232a，解得4a，代入上式得1349b，所以36ab，故答案为：36．考点二极差、方差与标准差4．【多选】（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本1x，2x，，nx的离散程度的有()A．样本1x，2x，，nx的标准差B．样本1x，2x，，nx的中位数资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3C．样本1x，2x，，nx的极差D．样本1x，2x，，nx的平均数【解析】中位数是反应数据的变化，方差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．故选：AC．5．【多选】（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据1x，2x，，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，，ny，其中(1iiyxci，2，，)n，c为非零常数，则()A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同【解析】对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，标准差()()()iiiDyDxcDx，两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，(1iiyxci，2，，)n，c为非零常数，x的极差为maxminxx，y的极差为()()maxminmaxminxcxcxx，两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：CD．考点三古典概型及其概率计算公式6．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A．16B．13C．12D．23【解析】从2至8的7个整数中任取两个数共有2721C种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为142213．故选：D．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】47．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有112121134134CCCCCC种，而所有的抽取方法共有48C种，故每一类都被抽到的概率为11212113413448303707CCCCCCC，故答案为：37．8．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为．【解析】甲选2个去参观，有246C种，乙选2个去参观，有246C种，共有6636种，若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有144C种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有236A种，共有4624种，则对应概率242363P，故答案为：23．9．（2019•上海）某三位数密码，每位数字可在09这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在09数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为1211039270CCC，则其中恰有两位数字相同的概率是270271000100；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在09数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为109810730，可得其中恰有两位数字相同的概率是7302711000100．故答案为：27100．考点四相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】510．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立【解析】由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，P（甲1)6，P（乙1)6，P（丙55)6636，P（丁61)666，:AP（甲丙）0P（甲)P（丙)，:BP（甲丁）136P（甲)P（丁)，:CP（乙丙）136P（乙)P（丙)，:DP（丙丁）0P（丙)P（丁)，故选：B．11．【多选】（2023•新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的概率为1；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)()A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)D．当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【解析】采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：2(1)(1)(1)(1)(1)，故A正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：2(1)(1)(1)，故B正确；采用三次传输方案，若发送1，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：2233(2)(1)C，故C错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率22313(1)(1)PC，单次传输发送0译码为0的概率21P，223222133(1)(1)(1)(1)[1(1)(1)]PPCC2(1)(2)(1)(21)，当00.5时，210PP，故21PP，故D正确．故选：ABD．考点五频率分布直方图12．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）p（c）q（c）．当[95c，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．【解析】（1）当漏诊率p（c）0.5%时，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7则(95)0.0020.5%c，解得97.5c；q（c）0.012.550.0020.0353.5%；（2）当[95c，100]时，f（c）p（c）q（c）(95)0.002(100)0.0150.0020.0080.820.02ccc…，当(100c，105]时，f（c）p（c）q（c）50.002(100)0.012(105)0.0020.010.980.02ccc，故f（c）0.0080.82,951000.010.98,100105cccc剟„，所以f（c）的最小值为0.02．13．（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：50.00110150.00210250.01210350.01710450.02310550.02010650.01710750.00610850.0021047.9x岁．（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的频率为：(0.0120.0170.0230.0200.017)100.89，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率为0.89．（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50)为事件B，此人患这种疾病为事件C，则()0.1%0.02310(|)0.