2018高考全国Ⅱ卷文科数学(带答案解析)

文科数学试题第1页（共8页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i(2+3i)A．32iB．32iC．32iD．32i2．已知集合1,3,5,7A，2,3,4,5B则ABA．3B．5C．3,5D．1,2,3,4,5,73．函数2ee()xxfxx的图象大致为4．已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.36．双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx7．在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．25文科数学试题第2页（共8页）8．为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii9．在长方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A．22B．32C．52D．7210．若()cossinfxxx在[0,]a是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π11．已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，则C的离心率为A．312B．23C．312D．3112．已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为__________．14．若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx≥≥≤则zxy的最大值为__________．15．已知51tan45πα，则tanα__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否文科数学试题第3页（共8页）17．（12分）记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离．20．（12分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（12分）PAOCBM文科数学试题第4页（共8页）已知函数321()(1)3fxxaxx．（1）若3a，求()fx的单调区间；（2）证明：()fx只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx≥的解集；（2）若()1fx≤，求a的取值范围．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．B9．C10．C11．D12．C二、填空题13．y=2x–214．915．326．8π三、解答题17．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．文科数学试题第5页（共8页）所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．连结OB．因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2．由222OPOBPB知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．文科数学试题第6页（共8页）由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=253，CH=sinOCMCACBOM=455．所以点C到平面POM的距离为455．20．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由2(1)4ykxyx得2222(24)0kxkxk．216160k，故212224kxxk．所以212244(1)(1)kABAFBFxxk．由题设知22448kk，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则00220005(1)(1)16.2yxyxx，解得0032xy，或00116.xy，因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy．21．解：（1）当a=3时，f（x）=3213333xxx，f′（x）=263xx．令f′（x）=0解得x=323或x=323．当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f′（x）0；当x∈（323，323）时，f′（x）0．文科数学试题第7页（共8页）故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递增，在（323，323）单调递减．（2）由于210xx，所以()0fx等价于32301xaxx．设()gx=3231xaxx，则g′（x）=2222(23)(1)xxxxx≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=22111626()0366aaa，f（3a+1）=103，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．【注】因为211()(1)(13)33fxxxxa，22131()024xxx，所以1(13)03fa，2(23)(1)0faxx．综上，f（x）只有一个零点．22．解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy．当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为1t，2t，则120tt．又由①得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k．23．解：（1）当1a时，24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx文科数学试题第8页（共8页）可得()0fx的解集为{|23}xx．（2）()1fx等价于|||2|4xax．而|||2||2|xaxa，且当2x时等号成立．故()1fx等价于|2|4a．由|2|4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(,6][2,)．