新高二数学总复习(14)——等差数列及其前N项和新课讲义

新高二数学总复习（14）——必修五等差数列前N项和新课讲义一、等差数列1，等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn。强调：①“从第二项起”满足条件；②公差d一定是由后项减前项所得；③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）；2，等差数列的通项公式：1(1)naand；例：4.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A．15B．30C．31D．64例5.{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）670例6等差数列12,12nbnann，则na为nb为（填“递增数列”或“递减数列”）3，等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa推广：等差数列{an}中，若m+n=p+q，则qpnmaaaa例1，如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）35课堂小练1．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（）A．23B．24C．25D．262．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．（2012•福建）等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（）A．1B．2C．3D．41.若lg2,lg(21),lg(23)xx成等差数列，则x的值等于（）A.0B.2log5C.32D.0或325.在等差数列na中,若34567450aaaaa，则28aa的值等于（）A.45B.75C.180D.3006．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7=45，a2＋a5＋a8=39，则a3＋a6＋a9的值是（）A．39B．20C．19.5D．337．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A．d＞38B．d＜3C．38≤d＜3D．38＜d≤38．等差数列{an}的前n项和Sn=2n2＋n，那么它的通项公式是（）A．an=2n－1B．an=2n＋1C．an=4n－1D．an=4n＋19．已知*11nanNnn，则1210aaa的值为（）A．101B．111C．121D．210．在等差数列{an}中，若a3＋a9＋a15＋a21=8，则a12等于（）A．1B．－1C．2D．－2二、等差数列前N项和公式首先，一般地，我们称123naaaa为数列na的前n项和，用nS表示，即123nnSaaaa类似地：123nnSaaaa①121···nnnnSaaaa②①+②：1213212nnnnSaanaaaaaa∵121321nnnaanaaaaaa∴)(21nnaanS由此得：2)(1nnaanS（公式1）思路二：运用基本量思想，用通项公式将各项用和表示，得=…综上：（1）等差数列的前n项和公式1：12nnnaas（2）等差数列的前n项和公式2：112nnndsna例1：已知等差数列24,3,775,4的前n项和为ns，求使得ns最大的序号n的值分析：等差数列的前n项和公式可以写成211(1)()222nnndddSnanan，所以可以看成函数2122ddxaxy，*xN，当xn时的函数值.另一方面，容易知道ns关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列24,3,775,4的公差为57所以2252512775514515112514256nnnnnns当n取与152最接近的整数即为7或8时ns取最大值.例2，根据下列各题中的条件，求相应的等差数列na的有关未知数：（1）151,,5,66nadS求n及na；（2）12,15,10,nndnaaS求及例3：已知数列na的前n项和nnSn212，求（1）).2(1nSSnn（2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？课堂精练1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为()A．360B．370C．380D．3902、在等差数列{na}中，已知a1=4,a6=6,则其前6项和S6=()A、70B、35C、30D、123、若数列na的通项公式为25nan，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D.公差为n的等差数列4．若{an}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{an}的前10项和为（）A．230B．140C．115D．955、2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（）项.A.332B.333C.334D.3356、已知等差数列na的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为（）A.－5B.－4C.－3D.－27、在等差数列{na}中，a1+3a8+a15=20,则该数列的前15项的和S15的值为（）A、60B、22C、20D、-88．已知数列{an}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1B．0C．1D．29．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（）A．23B．24C．25D．2610、等差数列{na}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值（）A、55B、95C、100D、不能确定11．在等差数列}{na中，836aaa，则9S（）（A）0（B）1（C）1（D）以上都不对12．已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．913．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若满足an=an﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1D．114、设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A．8B．7C．6D．515．数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n2﹣17n，则当Sn取得最小值时n的值为（）A．4或5B．5或6C．4D．516．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1C．2D．17．设an=﹣2n+21，则数列{an}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项18、等差数列{na}的前n项和为Sn,若a2=1,a3=3,则S4=__________19．设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.20已知等差数列na中，26aa与的等差中项为5，37aa与的等差中项为7，则na.21．在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________.22，在等差数列na中，2312a，14342a，239na，求n及公差d．23，判断实数17、52，27()kkN是否为等差数列na:5，3，1，1，…中的项，若是，是第几项？,24．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－23n－2(n∈N*)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中25．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．26．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝Snn＋c，求非零常数c.27．(高考课标全国卷)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．