高中数学立体几何知识点及练习题

１点、直线、平面之间的关系㈠平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理二：不共线的三点确定一个平面。推论一：直线与直线外一点确定一个平面。推论二：两条相交直线确定一个平面。推论三：两条平行直线确定一个平面。公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。㈡空间图形的位置关系1直线与直线的位置关系(相交、平行、异面)1.1平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。即：a∥b，b∥ca∥c1.2异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。1.3异面直线所成的角⑴异面直线成角的范围：(0°，90°].⑵作异面直线成角的方法：平移法。注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。2直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)3平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)㈢平行关系(包括线面平行和面面平行)1线面平行1.1线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。1.2判定定理：1.3性质定理：２2线面角：2.1直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。2.2线面角的范围：θ∈[0°，90°]3面面平行3.1面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。3.2面面平行的判定定理：⑴判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：⑵判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：3.3面面平行的性质定理⑴(面面平行线面平行)⑵⑶夹在两个平行平面间的平行线段相等。㈣垂直关系(包括线面垂直和面面垂直)1线面垂直1.1线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。1.2线面垂直的判定定理：图2-3线面角图2-5判定1推论图2-6判定2３1.3线面垂直的性质定理：⑴若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。即⑵垂直于同一平面的两直线平行。即：★1.4三垂线定理及其逆定理已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内的一条直线。①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。2面面斜交和二面角2.1二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。2.2二面角的范围：∠α-l-β∈[0°,180°]3面面垂直3.1面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。3.2判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。即：3.3面面垂直的性质定理⑴若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；⑵⑶⑷图2-7斜线定理图2-10面面垂直性质2图2-11面面垂直性质3４例题分析例1、(1)已知异面直线a,b所成的角为700,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成600角的直线有()条.A.1B.2C.3D.4(2)异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是600,则的取值可能是().A.300B.500C.600D.900例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥AB；例3、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=23，D为AB的中点.（1）求证：AB1⊥平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1—AC—B的平面角.例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=a2，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平BDC1；ABCDA1EB1C1ABCDSEFM