函数与方程知识点总结

1函数与方程知识点总结1、函数零点的定义（1）对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。（2）方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。（2）函数)(xfy零点个数（或方程0)(xf实数根的个数）确定方法①代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）二次函数零点个数确定0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根；0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根；0)(xfy无零点0)(xf无实根；对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:2①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度;②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb);④判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.【经典例题】【例1】函数3()=2+2xfxx在区间(0,1)内的零点个数是（B）A、0B、1C、2D、3【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f，3(1)=2+22=8f，即(0)(1)0ff且函数()fx在(0,1)内连续不断，故()fx在(0,1)内的零点个数是1.解法2：设1=2xy，32=2yx，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.86422468105510【例2】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(B)A、(－2，－1)B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－520，f(0)＝20＋0＝10，∴f(－1)f(0)0.∴f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．【例3】下列函数中能用二分法求零点的是(C)3【例4】若函数)(xfxaxa(0a且1a)有两个零点，则实数a的取值范围是），（1.【解析】函数)(xf=xaxa(0a且1a)有两个零点，方程0axax有两个不相等的实数根，即两个函数xay与axy的图像有两个不同的交点，当10a时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当1a时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例5】函数223,0()2ln,0xxxfxxx，零点个数为（B）A、3B、2C、1D、0【例6】若函数32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程32220xxx的一个近似根（精确到0.1）为（C）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5【例7】如果二次函数23yxxm有两个不同的零点，则m的取值范围是（C）A、11(,)4B、11(,)2C、11(,)4D、11(,)2【例8】方程0lgxx根的个数为（D）A、无穷多B、3C、1D、0【例9】用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(ff，，可得其中一个零点0x，第二次应计算.以上横线上应填的内容为(A)A、（0，0.5），)25.0(fB、（0，1），)25.0(fC、（0.5，1），)75.0(fD、（0，0.5），)125.0(f反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程0)(xf的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．