1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数及其应用基本初等函数的导数公式:1(),()fxcfx、若则2(),()nfxxfx、若则3()sin,()fxxfx、若则4()cos,()fxxfx、若则01nnxcosxsinx5(),()xfxafx、若则6(),()xfxefx、若则7()log,()xafxfx、若则8()ln,()fxxfx、若则lnxaaxe1lnxa1x常函数幂函数三角函数指数函数对数函数55323..1(1)()(2)()(3)()(4)()1(5)()(6)()31(7)()3(8)()2(9)()logxxxfxxfxxfxxfxxfxfxxxfxfxfxx例用导数公式求下列函数的导数(10)()lgfxx导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx由法则2:()'()()()CfxCfxCfxCfx法则1:可以推广到有限个可导函数的和的情形,即.)(2121nnuuuuuu例1求函数的导数.3sin12xxyx解)3sin12(xxyx)3()(sin)1()2(xxx.coslnxxx+1+22=2例2设求解根据乘法法则，有),11)(1()(22xxxf).1(f)11)(1()11()1()(2222xxxxxf3222)1()11(2xxxx322xx所以.4)1(f还有其它方法么？解根据除法法则，有2)())(()()(xaxaxaxaxay例3设函数,xaxay求y.2)()()(xaxaxa.)(22xaa还有其它方法么？例4:求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23)1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxxx答案:2(1)32;yx2221(3);(1)xyx21(4);cosyx326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx题型一：导数公式及导数运算法则的应用练习1：求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝5x4－9x2－10x.＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3解：(2)法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，＝18x2－8x＋9.∴y′＝18x2－8x＋9.解：(3)法一：y′＝(x－1x＋1)′练习1：求下列函数的导数：(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12解：(3)法二：∵y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12.∴y′＝(1－2x＋1)′＝1－2x＋1，＝－2′x＋1－2x＋1′x＋12＝(－2x＋1)′＝2x＋12.解：(4)y′＝(x·tanx)′＝(xsinxcosx)′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.练习1：求下列函数的导数：(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.练习2：求下列函数的导数(1)y＝x(x2＋1x＋1x3)；(2)y＝exsinx；(3)y＝x＋3x2＋3.解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋1x3)＝x3＋1＋1x2，解：(2)y′＝(exsinx)′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′∴y′＝3x2－2x3.解：(3)y′＝(x＋3x2＋3)′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．＝x2＋3－x＋3×2xx2＋32＝－x2－6x＋3x2＋32.＝x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′x2＋32.233sin)3(f，处的切线斜率为故曲线在点23)21,3(P.033123yx即求在曲线y=cosx上点P()的切线的直线方程.21,3例5),3(2321xy所求的直线方程为,sin)(,cos)(xxfxxf解：题型二：利用导数求函数的切线方程应用若直线y=4x+b是函数y=x2图象的切线,求b以及切点坐标.),4,2(即切点坐标例6),(:00yxP设切点解xxxf2)()(2,2,4200xx4220y上线由题意得此切点也在直bxy44,244bb（1）若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:由①,②得3x0+1=ax03,所以a•(-1/2)2=1,即:a=4例7y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③由③得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.(2)曲线y=x2的一条切线方程为6x-y-9=0,求切点的坐标.处的切线方程求曲线在点）已和（2,log32xxy(3,9))2(2ln2221xy212ln12ln22xy即例1：已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．解：(1)y′＝2x＋1.题型三：导数的综合应用∴直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以直线l2的方程为y＝－13x－229.则有2b＋1＝－13，b＝－23.(2)解方程组y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52.所以直线l1和l2的交点坐标为(16，－52)．l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积为S＝12×253×|－52|＝12512.例1：已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．直线l2的方程为y＝－13x－229.练习：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，又曲线过点(2，－1)，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，所以4a＋2b＋c＝－1.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.解得a＝3，b＝－11，c＝9.例2：点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∵y′＝(ex)′＝ex，即y′|x＝x0＝1.∴ex0＝1，得x0＝0，代入y0＝ex0，得y0＝1，利用点到直线的距离公式得距离为22.即P(0,1)．例3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.0001205%()(15%).0110.0tpptpptp例：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到01）0'()1.05ln1.05tptp解：由导数公式：10'(10)1.05ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以08元/年的速度上涨。0510p思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0'()1.05ln1.05,tptp'(10)50.080.4p3:5284(80100).100xx例日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;(1)90%;(2)98%.解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284'(100)5284(100)''())'100(100)xxcxxx=(25284(100)x20(100)5284(1)(100)xx25284'()(100)cxx.8纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是524元/吨。25284(1)'(90)52.84(10090)c纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。25284(2)'(98)1321(10098)c