2014年上海中学自主招生数学试题

2014年上中自主招生试卷一、填空题1.已知111abab，则baab__________。2.有__________个实数x，可以使得120x为整数。3.如图，ABC中，ABAC，CDBF，BDCE，用含A的式子表示EDF，应为EDF__________。4.在直角坐标系中，抛物线223-(0)4yxmxmm＞与x轴交于A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足1123OBOA，则m__________。5.定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，72r＜且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有__________个可能的值。6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人；如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有__________人。7.对于各数互不相等的正数数组(1a，2a，…，na)(n是不小于2的正整数)，如果在ij＜时有ijaa＞，则称ia与ja是该数组的一个“逆序”。例如数组(2，4，3，1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正数数组(1a，2a，3a，4a，5a，6a)的逆序数为2，则(6a，5a，4a，3a，2a，1a)的逆序数是__________。FEDCBA8.若n为正整数，则使得关于x的不等式11102119nxn＜＜有唯一的整数解的n的最大值为__________。二、选择题9.已知2-12xax能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为()A.3B.4C.6D.810.如图，D、E分别为ABC的底边所在直线上的两点，DBEC，过A作直线l，作DMBA∥交l于M，作ENCA∥交l于N。设ABM面积为1S，ACN面积为2S，则()11.设1p，2p，1q、2q为实数，则12122()ppqq，若方程甲：2110xpxq，乙：2220xpxq，则()A.甲必有实根，乙也必有实根B.甲没有实根，乙也没有实根C.甲、乙至少有一个有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定12.设222212310071352013a，222212310073572015b，则以下四个选项中最接近ab的整数为()A.252B.504C.1007D.2013A.1S2＞SB.1S2=SC.1S2＜SlNMEDCBA二、解答题13.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC(B、D位于AC的两侧)，M、N分别是AC、BD中点，且M、N不重合。(1)线段MN与BD是否垂直？证明你的结论；(2)若30BAC，45CAD，4AC，求MN的长。14.是否存在m个不全相等的正数1a，2a，…，ma(7m≥)，使得它们能合部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由。NMDCBA