2013年上海中学自招数学卷答案

12013年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷参考答案1.20131;2.2;3.a+b=1.54.(1)BD=433（2）BD=5－3t=51325.∆=b2－4ac=12;6.共有1+4+9+4+1=19个。7.解析：n的最大值就是2×2=4,构造图参见图形中的A,B,C,D.8.k=7/49.y只能取1,2，所以，n只能取3，或5，两种可能。10.23710a11．f(x)=－x2+212.解析：考察类比递推式的应用。恒等式(k+1)3=k3+3k2+3k+1，即(k+1)3－k3=3k2+3k+1令k=1,则23－13=3×12+3×1+1令k=2,则33－23=3×22+3×2+1令k=3,则43－33=3×32+3×3+1……令k=n,则(n+1)3－n3=3×n2+3×n+1上述各式相加，得到(n+1)3－13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n)+1×n故(12+22+32+…+n2)=[(n+1)3－13－n]/3－n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3－n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/613.解：原方程组可以用平方差公式化为(这是最关键的一步)543ECABD543FCABDEDBAC2()()1()()2()()3xyzxyzyzxyzxzxyzxy令a=x+y－z,b=x－y+z,c=y+z－x,（观察发现规律，字母轮换），则方程组可以简化为：123abacbc所以a:b=2:3，b:c=1:2，即a:b:c=2:3:6，（充分利用比例性质，化成连比）令a=2t，b=3t，c=6t，（连比常用的设未知数的方法），则6t2=1，t2=1/6,t=±66从而a=±6/3,b=±6/2,c=±6,或者：连乘得到（abc）2=6，所以abc=±6，代入每个式子不难得到a，b，c。即有（即刻将复杂的三元二次方程组化为了三元一次方程组，降次方法一次到位）63626xyzxyzyzx两两相加，（观察仔细，即刻发现规律），可得到5612263364xyz14.解析：过点A’作BC的平行线L1，过点B’做AC的平行线L2，交于点M，第一种特殊情形就是点A’与点M重合时，M到AB的距离也等于C’到AB的距离（设为x），则点M将∆ABC划分为三个三角形，分别为∆ABM，∆ACM，∆BCM，由面积关系，得到：S∆ABM+S∆ACM+S∆BCM=S∆ABC，左边三个三角形面积由底乘以高除以2得到，右边三角形由于已知了三边长，所以求面积可以用海伦公式，从而0.5（6x+5×1+7×3）=()()()ppapbpc,这里p=(a+b+c)/2,a=7,b=5,c=6,故p=9，计算得到x=13263本题还有一个特殊情况就是A’，B’，C’三点重合于点M，结论同样成立。严格一点：题目应该说明A’，B’在∆ABC内部，因为到一直线距离相等的点可以分布在该直线的两侧。这时结果恐怕要不一致,第三个图的结论是x=26-8/3。第四种图形的结论是不固定.(A’，B’，C’都有两种可能，故共有23=8种可能。)3xMGC'CABA'B'xMGC'CABA'B'MLKC'NCABA'B'C'CABB'A'