清华大学高等数值分析试卷

清华大学研究生“高等数值分析”试题（2012.1.10）姓名学号所在系填空：（28分）（一）设矩阵0230A，则2_________A，1222()_________condAAA。（二）①设00112222A，请给出一个A的奇异值分解TAVU，其中___________，___________V，___________U。②对上面的A，若*2xR，使2*22minXAxbAxbR，则*__________x，这里(1,1,1)Tb。（三）设33AR对称正定，用CG法求解Axb，若第一、二步迭代搜索方向分别为1p、2p，则2步后余量22rbAx沿方向（不计正负）___________。问答题：（32分）（回答“为什么”时给出主要理由即可）（一）对任意的33矩阵，都能用左乘和右乘（不一定相同的）初等反射阵（Householder阵）将其变为以下结构的矩阵吗？(a)**00**00*(b)**0*0*0**(c)***00*00*其中*表示元素可以非0。对(a),(b),(c)形矩阵分别回答。第1页/共2页（二）若用GMRES法解方程组Axb，nnAR非奇异，nbR，取0nxR作为初值，00rbAx，从1002qrr开始Arnoldi过程，则必有122kkrr吗？为什么？这里kkrbAx，kx为GMRES法第k步所得近似解，kn。（三）设用不动点迭代法1()kkxGx解非线性方程组，*x为()xGx的解，迭代函数()Gx在*x处Frechet可导且*'()0Gx矩阵，问此时迭代法是否局部超线性收敛？为什么？计算证明题（40分）（一）设1100121001310011A，用strum方法算出A在(1,2]有多少特征值。（二）设nnAR非奇异，nbR，取0nxR，记00rbAx，从1002qrr开始Arnoldi过程，若在第m步（1mn）有1,0mmh，即mmmAQQH，证明此时有：(a)0Azr的解z在mk中，这里12,,...,mqqq为mQ的列，100012{,,...,}{,,...,}mmmkspanrArArspanqqq。（提示：考虑方程组1mHye，02r）(b)(q,q)mmmmAkkkAk即有，且1....mmnkkk。（三）写出与下述微分方程边值问题等价的Galerkin变分问题，''()()(),(,)'(),'()yxyxfxxabyayb这里,已给定。第2页/共2页