椭圆和双曲线练习题及答案解析

1/8第二章圆锥曲线与方程一、选择题1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：选D根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12解析：选C由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝23，|CA|＋|CF|＝23，便可求得△ABC的周长为43.3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)，故甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a＜|AB|时，P点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：选D由a2＞a＋6＞0，得a2－a－6＞0，a＋6＞0，所以a＜－2或a＞3，a＞－6，，所以a＞3或－6＜a＜－2.5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.x212＋y29＝1B.x212＋y29＝1或x29＋y212＝1C.x29＋y212＝1D.x248＋y245＝1或x245＋y248＝1解析：选B由已知2c＝|F1F2|＝23，得c＝3.由2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，得a＝23.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2/87．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1解析：选A由椭圆的性质知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝43，∴a＝3.又e＝33，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为x23＋y22＝1.8．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆y221＋x29＝1的短轴长相等，则()A．a2＝25，b2＝16B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a2＝25，b2＝9解析：选D因为椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP―→＝2PB―→，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.12解析：选D∵AP―→＝2PB―→，∴|AP―→|＝2|PB―→|.又∵PO∥BF，∴|PA||AB|＝|AO||AF|＝23，即aa＋c＝23，∴e＝ca＝12.10．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13解析：选B法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±b2a，故|PF1|＝b2a，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2b2a，根据椭圆定义得3b2a＝2a，从而可得e＝ca＝33.法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝233c，|PF2|＝433c.所以|PF1|＋|PF2|＝23c＝2a，离心率e＝ca＝33.11．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.x225－y224＝1B.y225－x224＝1C.x225－y224＝1或y225－x224＝1D.x225－y224＝0或y225－x224＝0解析：选C由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.12．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程x2m＋y2n＝1表示双曲线”的()3/8A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C若方程x2m＋y2n＝1表示双曲线，则必有m·n＜0；当m·n＜0时，方程x2m＋y2n＝1表示双曲线．所以“m·n＜0”是“方程x2m＋y2n＝1表示双曲线”的充要条件．13．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为()A.12B.32C.72D．5解析：选C如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.14．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是()A．17B．7C．7或17D．2或22解析：选D依题意及双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.15．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D.x22－y22＝1解析：选A由双曲线定义知，2a＝2＋22＋32－2－22＋32＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.16．下列双曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1解析：选B由e＝62得e2＝32，∴c2a2＝32，则a2＋b2a2＝32，∴b2a2＝12，即a2＝2b2.因此可知B正确．17．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4解析：选A令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝12c2＝12×16＝8，故选A.18．(广东高考)若实数k满足0＜k＜5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B.虚半轴长相等C．离心率相等D.焦距相等解析：选D由0＜k＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x轴上，由于16＋5－k＝16－k＋5，所以两曲线的焦距相等．19．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－10,0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析：选B由题意知k＜0，∴a2＝4，b2＝－k.∴e2＝a2＋b2a2＝4－k4＝1－k4.又e∈(1,2)，∴1＜1－k4＜4，∴－12＜k＜0.4/820．(天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝1解析：选A由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝bax与直线y＝2x＋10平行，所以ba＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为x25－y220＝1.二、填空题21．椭圆x2m＋y24＝1的焦距是2，则m的值是________．解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.答案：3或522．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4，解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.答案：x216＋y212＝123．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．资*源%库ziyuanku.com解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，.com∴12×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.答案：x225＋y29＝124．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________．解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，因此可设待求椭圆为x2m＋y2m＋5＝1.又b＝25，故m＝20，得x220＋y225＝1.答案：x220＋y225＝125．椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，则m＝________.5/8解析：当焦点在x轴上时，4－m2＝12⇒m＝3；当焦点在y轴上时，m－4m＝12⇒m＝163.综上，m＝3或m＝163.答案：3或16326．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e＝ca＝55，∴c2a2＝a2－b2a2＝15，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为x2a2＋5y24a2＝1(a＞0)，an∵椭圆过点P(－5,4)，ku.com∴25a2＋5×164a2＝1.解得a2＝45.∴椭圆的方程为x245＋y236＝1.答案：x245＋y236＝127．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：1628．经过点P(－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是______________．设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125，故双曲线的标准方程为y225－x275＝1.答案：y225－x275＝129．已知双曲线的两个焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，P是双曲线上一点，且PF1