机械工程控制基础-05控制系统的频域分析

机械工程控制基础1河北工程大学HebeiUniversityofEngineering此课件除了PPT内容，课件下方附带的备注里讲解内容更细致：备注里有很多案例可以帮助理解；备注里有很多重点、难点内容的详细讲解；备注里有很多易错、易误导内容的讲解。机械工程控制基础2河北工程大学HebeiUniversityofEngineering机械工程控制基础2河北工程大学HebeiUniversityofEngineering机电工程控制基础河北工程大学机械与装备工程学院周雁冰机械工程控制基础3河北工程大学HebeiUniversityofEngineering第五章控制系统的频域分析5.1频率特性概述5.2频率特性的极坐标（Nyquist）图描述5.3频率特性的对数坐标（Bode）图描述5.4控制系统闭环频率特性的Bode图机械工程控制基础4河北工程大学HebeiUniversityofEngineering频率特性分析：将传递函数从复数域引到频域来分析系统的特性。时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃（或脉冲）输入下系统的瞬态响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率ω的谐波（如一簇正弦波）输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。1、时域分析的缺陷高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。机械工程控制基础5河北工程大学HebeiUniversityofEngineering2、频域分析的目的频域分析：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向；易于实验分析；优点：可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。机械工程控制基础6河北工程大学HebeiUniversityofEngineering一、频率响应与频率特性5.1频率特性概述频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。为了说明频率响应，先看一个RC电路，如图所示。电路的传递函数为CR)t(ur)t(uci图5-1R-C电路()1()()1crUsGsUsTs式中，T=RC为电路的时间常数。若给电路输人一个振幅为X、频率为ω的正弦信号，即：()sinrutXt机械工程控制基础7河北工程大学HebeiUniversityofEngineering当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为2211()()11crXUsUsTsTss对上式取拉氏反变换，得输出信号时域解为2222()sinarctan11tTcXTXutetTTT上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当时，第一项趋于0，电路稳态输出为ttsinBTarctantsinTX)t(ucs221式中，为输出电压的振幅；为与之间的相位差。221TXB)(tuc)(tur机械工程控制基础8河北工程大学HebeiUniversityofEngineering可见，R-C电路在正弦信号作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值的倍，相位则滞后了。2211TTarctan上述结论具有普遍意义。事实上，一般线性系统(或元件)输人正弦信号的情况下，系统的稳态输出（即频率响应）也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相位不一样。tXtxsin)()sin()(tYty对输出、输入正弦信号的幅值比和相位差作进一步研究不难发现，在系统结构参数给定的时，A和仅是的函数（即输出信号的幅值和相角是频率ω的函数，随频率而变化），它们反映出线性系统在不同频率下的特性，分别称为幅频特性和相频特性，分别以和表示。XYA)(A)(机械工程控制基础9河北工程大学HebeiUniversityofEngineering总结：频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦响应。频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时，其稳态输出随频率变化而变化(由0变到)的特性，包括幅频特性和相频特性两部分，记作或。幅频特性：当频率由0到变化时，其稳态输出（频率响应）的幅值与输入信号的幅值比，记为。相频特性：当频率由0到变化时，输出信号与输入信号的相位之差，记为()。()()A()()jAe0()()()iXAX机械工程控制基础10河北工程大学HebeiUniversityofEngineering12()()()()()()()nMsMsGsNsssssss考虑线性定常系统：若系统稳定，其特征根为–si，在零初始状态下，当正弦输入xi(t)=Xisint时，假设系统只具有不同的极点，则相应的输出为：二、频率特性与传递函数的关系22121()()()()()()()()()ioinniiiXMsXsGsXssssssssAAAsssjsjAA,其中，为一对待定共轭复常数Ai(i=1,2,…,n)为待定常数。机械工程控制基础11河北工程大学HebeiUniversityofEngineering1212()(0)nptptptjtjtonxtAeAeAeAeAet，利用拉式反变换，从而：对稳定的系统而言，这些项随t趋于无穷大时都趋近于零。因此，系统的稳态响应为：tjtjoeAAetx)(,0lim0cossinlim=0xiytstxtiytxtiyttsttaeaeaeexyxeeytiytae，均为实数，且因为，为有限数，所以机械工程控制基础12河北工程大学HebeiUniversityofEngineering其中：()()()()()2iisjXXGjAGssjsjsjj()()()()()2iisjXXGjAGssjsjsjj)()()()()(jjejGejGjG()Im[()]()()()()Re[()]jGjGjGjeGjarctgGj，已知：[()][()]()()2()sin[()]sin[()]()jtjtjtjtoiiieextAeAeXGjjXGjtYtYXGj因此：机械工程控制基础13河北工程大学HebeiUniversityofEngineering因，所以为系统的频率特性，而可直接将中的s以代之而得到。这就说明了传递函数与频率特性之间的关系。)()()(jGjGjG＝)(jG)(jG)(sGj上述推导表明，线性系统在正弦信号作用下，其输出量的稳态分量的频率与输入信号相同，其幅值，相位差为，即，。)(AXXio＝)()()(jGA＝)()(jGxi(t)=Xisint作用下的频率响应。1)(TsKsG例：求一阶系统的频率特性及在正弦输入机械工程控制基础14河北工程大学HebeiUniversityofEngineering22()sin(arctan)1ioXKxttTT则稳态输出：22122()()()[()]iiiioXxtXssXxtLGss解：写出的拉氏变换，则输出为：，arctan2222()11()arctanjTKAKeTTT故系统的频率特性为：或法一：由频率响应求频率特性（定义法）机械工程控制基础15河北工程大学HebeiUniversityofEngineering法二：由传递函数求频率特性（jω替代法）1)()(jTKsGjGjs解：221)()(TKjGATarctgjG)()(22()sin()1ioXKxttarctgTT对于正弦输入xi(t)=Xisint，根据频率特性的定义：机械工程控制基础16河北工程大学HebeiUniversityofEngineering频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()机械工程控制基础17河北工程大学HebeiUniversityofEngineering三、频率特性表示方法()()GjUjV)(U)(V22)()()()(VUjGA＝()()()()VGjarctgU＝()cos()sin()GjAj)()(AjG）（)()(jeAjG）（1、代数式式中：为实频特性，为虚频特性。幅频特性相频特性2、三角函数式3、极坐标式4、复指数式解析表示0()V()U()Gj()A()jVU机械工程控制基础18河北工程大学HebeiUniversityofEngineering图示法:Nyquist图(极坐标图，幅相频率特性图)Bode图(对数坐标图，对数频率特性图)四、频率特性的特点1、频率特性是系统单位脉冲函数δ(t)的Fourier变换。()()()()()()()()()[()]1()()()()[()]()oioiiiooXsGsXsXjGjXjxttXjFtXjGjxtytFytGj由于，有，而当时，有，故，所以由于，即3、许多情况下，频域分析法比时域分析法容易。2、时域分析针对过渡过程，频域分析针对稳态响应。4、对于高阶系统，频域分析法比时域分析法容易。5、在设计系统时，频域分析法有利于抑制噪声。机械工程控制基础19河北工程大学HebeiUniversityofEngineering一、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图）5.2频率特性的极坐标（Nyquist）图描述幅相频率特性是在复平面上研究的，当从0到+∞变化时，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线，得到的图形称为系统的奈（耐、乃）奎（魁）斯特图（Nyquist曲线）或极坐标图。它一方面表示了幅值与频率、相位与频率的关系特性，同时也表示了实频和虚频的变化特性。jG机械工程控制基础20河北工程大学HebeiUniversityofEngineering注意，由系统的频率特性计算相频特性时，首先要计算系统的实频特性和虚频特性，然后估计系统的奈奎斯特图在哪些象限：如在第一、四象限（对应反正切值域），则可利用φ(ω)式进行计算，如奈奎斯特图在其它象限，则应将φ(ω)式±180°。0()()()()Re[()]Im[()]()()()()()()jjGjjiGjGjjGjUjVXeGjeGjGjAeX22()()()(),()()VAUVarctgU其中，U()、V()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然幅频特性、相频特性为：机械工程控制基础21河北工程大学HebeiUniversityofEngineering1、比例环节二、典型环节的奈奎斯特图传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=Kej0=K实频特性：U()=K虚频特性：V()=0幅频特性：A()=K相频特性：()=0ImRe0(K，j0)()GjK机械工程控制基础22河北工程大学HebeiUniversityofEngineering2、积分环节1()1()GssGjj0ReIm-90°ω=0