机械工程控制基础5-稳定性

机械工程控制基础2009.11主讲人：张燕机械类专业必修课机械与动力工程学院教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪论4、系统的时间响应分析3、系统的数学模型5、系统的频率特性分析6、系统的稳定性分析教学内容第一讲稳定性概念Routh判据4a,b称为系统的平衡点小球在a处稳定，在b处不稳定ababb摆在a处稳定，在b处不稳定。稳定性的基本概念c)稳定d)临界稳定e)不稳定Ab、不稳定的摆AAA″a、稳定的摆6②：闭环控制的磁悬浮系统可以稳定。+VLightsourceRControllerFmgIuFmgI①：开环控制的磁悬浮系统不稳定①②7针对不稳定对象的反馈控制大部分受控对象是稳定的，但反馈控制所构成的闭环系统可能稳定，可能不稳定。针对稳定对象的反馈控制1)系统不稳定现象例：液压位置随动系统原理：外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开→活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→平衡位置→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启……①随动：活塞跟随阀芯运动②惯性：引起振荡③振荡结果：①减幅振荡（收敛，稳定）②等幅振荡（临界稳定）③增幅振荡（发散，不稳定）一、系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性—稳定性概念三、关于稳定性的相关提法1.李亚普诺夫意义下的稳定性)(o若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域η，由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的整数ε，则系统是稳定的。反之，系统是不稳定的。系统的稳定性—稳定性概念3.“小偏差”稳定性系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差稳定性”或“局部稳定性”。4.“大范围”渐近稳定性若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为“大范围渐近稳定”，反之，系统是不稳定的。2.渐近稳定性就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。系统的稳定性—稳定性概念控制工程中希望大范围渐近稳定，基于精度要求，也需要确定最大范围。四、Routh稳定判据1.系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn两边同除an)())((210111nnnnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(系统的稳定性—Routh稳定判据依据上式，s的同次幂前系数应对等要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：特征方程的各项系数都不等于0；特征方程的各项系数的符号相同。按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为系统特征方程的各项系数全大于0，此即系统稳定的必要条件。niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2,132,1211)1(...niinnnjijijinniinsssssss122,111)1(nnnnnnaasaasaas0111从根与系数的关系可以看出，仅仅有各项系数大于0，还不能判定特征根均具有负实部，也许特征根中有正有负，它们组合起来仍能满足“根与系数的关系”中的各式。也就是说上式为系统稳定的必要条件，而不是充要条件。实例分析1系统特征方程0301119)(234sssssD试用Routh表判断其稳定性。4s3s2s1s0s1193011103030012030301111)19(1123030111)30(改变符号一次改变符号一次解：由Routh判据：系统不稳定。低阶系统的劳斯稳定判据二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：s3a0a2s2a1a3s10s0a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a303.Routh判据的特殊情况（1）如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是Routh表计算无法继续，为了克服这一困难，用一个很小的正数ε代替第一列的0，然后计算Routh表的其余各元。若ε上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，则系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。（2）如果Routh表中任意一行的所有元素都为0，Routh表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，Routh表就可以计算下去。出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），或是以上几种根的组合。系统的稳定性—Routh稳定判据实例分析2系统特征方程：04244)(2345ssssssD试用Routh表判断其稳定性。解：列Routh表如下：4s3s2s1s0s142144202442448425s0004改变符号一次改变符号一次由Routh判据：系统不稳定。系统的稳定性—Routh稳定判据实例分析3系统特征方程：0502548242)(2345ssssssD试用Routh表判断其稳定性。解：列Routh表如下：8964s3s2s1s0s124252485000024507.1125s00500Routh表中出现0元行，构造辅助多项式如下：050482)(24sssF取F(s)对s的导数得新方程：0968)(3sssF用上式中的系数8和96代替0元行，继续进行运算。改变符号一次此表第一列各元符号改变次数为1，该系统包括一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。根据Routh判据，2p的辅助多项式应该存在p对实部符号相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过解辅助多项式得到。本例中辅助多项式为：050482)(24sssF解此辅助多项式可得：5;1jss这两对复根是原特征方程的根的一部分。系统的稳定性—Routh稳定判据五、相对稳定性的检验应用Routh判据可检验稳定系统的相对稳定性方法如下：将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－σ（σ为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程；利用Routh表和Routh判据对新的特征方程进行稳定性判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边，σ越大，系统相对稳定性越好。系统的稳定性—Routh稳定判据系统传递函数方框图如下图所示，已知T1＝0.1s，T2＝0.25s，试求:实例分析4)(sXi)(sXo)1)(1(21sTsTsK解：（1）求系统稳定时K值的取值范围（1）系统稳定时K值的取值范围；（2）若要求系统的特征根均位于s＝－1线的左侧，K值的取值范围。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()(系统的稳定性—Routh稳定判据0)()(221321KssTTsTTsD040401423Ksss因为：将T1和T2代入得：列Routh表如下：0400404014KK140K3s2s1s0s14014K4014404014K0K40解之得系统稳定时K的取值范围为：由Routh表和Routh判据得：系统的稳定性—Routh稳定判据（2）令s＝z－1，代入特征方程得：040)1(40)1(14)1(23Kzszz02740151123Kzzz即：列Routh表如下：02740040192KK8.4675.0K3s2s1s0s115112740K1127401511K02740K解之得：由Routh表和Routh判据得：与(1)的结果比较可知，K的取值范围变小了。系统的稳定性—Routh稳定判据系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力；六、本讲小结系统稳定的充要条件是所有特征根具有负实部，或系统传递函数的所有极点均分布在[s]平面的左半平面;Routh稳定判据是Routh表的第一列元素均大于0。利用Routh稳定判据不仅可判定系统的稳定性，而且可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。系统的稳定性—Routh稳定判据系统的稳定性—Nyquist稳定判据第二讲Nyquist稳定判据K=8-4-2024-2.5-2-1.5-1-0.500.5NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis051015202530-10-5051015StepResponseTime(sec)AmplitudeK=6-3-2-10123-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis0510152025303500.511.52StepResponseTime(sec)Amplitude()(1)(2)KGssss乃奎斯特图及时间响应K=4K=1-2-1012-4-3-2-101NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis010203040506000.511.52StepResponseTime(sec)Amplitude-2-1012-4-3-2-101NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis05101500.20.40.60.811.21.4StepResponseTime(sec)AmplitudeK=0.5-2-1012-4-3-2-101NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis05101500.20.40.60.811.21.4StepResponseTime(sec)Amplitude由以上可以看出：极坐标图离（-1，j0）点的远近程度是系统的相对稳定性的一种度量，这种度量常用相角裕量(度)和幅值裕量(度)来描述。一、Nyquist稳定判据判据提出：该稳定性判据由H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到广泛应用。判据原理：将闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=0与开环频率特性GK(jω)=G(s)H(s)联系起来，从而将系统特性从复域引入频域来分析。判断方法：通过GK(jω)的Nyquist图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性。Nyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。系统的稳定性—Nyquist稳定判据幅角原理（Cauchy定理）例如：1011jjvujSAAA1211jjvujSCCC1211jjvujSEEE1011jjvujSGGG进一步，我们考虑S平面上的一个围线（封闭曲线），如图(a)Ｓ平面中的ABCDEFGH所示，要观察该围线在F(S)平面上的映射，先求A、C、E、G四个点，有如下结果分析一下F(s)ssssF221)(零点：-2极点：0第一次s平面上的曲线包围了F(s)的极点，未包含零点F(s)包围原点，旋转方向：逆时针方向s平面选择方向：顺时针F(s)包含坐标原点，方向：逆时针！记住：如果让s平面上的围线同时包围F(s)的极点和零点F(s)曲线会