机械工程控制基础(第3章系统的时间响应分析)

中原工学院机电学院第3章系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法之一。中原工学院机电学院2.典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；本章主要内容∶中原工学院机电学院首先来分析最简单的振动系统，即无阻尼的单自由度系统。如图3.1.1所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统在外力Fcost的作用下，系统的动力学方程为3.1.1:图3.1.1单自由度的m-k系统（3.1.1）()()cosmytkytFt3.1时间响应及其组成中原工学院机电学院这一非齐次常微分方程的完全解由两部分组成：式中，是齐次微分方程的通解；是其一个特解。由理论力学与微分方程中解的理论知：式中，，为系统的无阻尼固有频率。将式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有化简得，式中于是，式（3.1.1）的完全解为2()cosytYt12()()()ytytyt1()yt2()yt1()sincosnnytAtBt（3.1.2）（3.1.3）（3.1.4）2()coscosmkYtFt211FYk/n（3.1.5）21()sincoscos1nnFytAtBttk（3.1.6）/nkm中原工学院机电学院求解常数A与B：将上式对t求导，有设时，，代入式（3.1.6）与（3.1.7），联立解得：代入式（3.1.6），整理得通解：第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由响应，第三项:作用力引起的自由响应，其振动频率均为，幅值受到F的影响。第四项:作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率.2()cossinsin1nnnnFytAtBttk（3.1.7）(0),nyA21(0)1FByk22(0)11()sin(0)coscoscos11nnnnyFFyttytttkk（3.1.8）0t()(0),()(0)ytyyty自由响应强迫响应零输入响应零状态响应n中原工学院机电学院零输入响应（“初态”引起的自由响应）是输入信号为零，仅由系统的起始状态作用所引起的响应.为齐次方程零状态响应（仅由输入引起的响应）是系统的起始状态为零，即系统的起始贮能为零时，仅由激励信号作用所引起的响应.为非齐次方程控制工程主要研究:零状态响。系统的时间响应分类:振动性质分类:自由响应强迫响应振动来源分类:零输入响应零状态响应kzi0kzi()0(0),0,1,2,,nkkkkkdytadtdyckndt起始条件：kk00k()()(0)0,0,1,2,,nmzskkkkkkzxkdytdxtabdtdtdykndt起始条件：中原工学院机电学院一般的情况，设系统的动力学方程为：方程的解（时间响应）为通解（即自由响应）与特解（即强迫响应）所组成，若式（3.1.9）的齐次方程的特征根各相同，则而又分为两部分，即第一项:初态引起的自由响应；第二项:输入x(t)引起的自由响应，()(1)110()()()()()nnnnaytaytaytaytxt（3.1.9）12()()()ytytytist11()eniiytA2()()ytBtiistst11211()eenniiiiytAA（3.1.10）（3.1.11）1()yt2()yt(1,...,)isin1()yt中原工学院机电学院全解:其中:n和si只取决于系统的结构与参数。当输入函数有导数项:方程为：利用线性原理:利用方程(3.1.9)的解(3.1.12),可分别求出作用时的响应函数，然后叠加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系统的响应函数。传递函数(初态为零)求解:Laplace逆变换就是系统的零状态响应。iistst1211()ee()nniiiiytAABt()(1)110()()()()nnnnaytaytaytayt()(1)110()()()(),mmmmbxtbxtbxtbxtnm（3.1.12）（3.1.13）1()[Y()]ytLs()(),(),,()mxtxtxt自由响应强迫响应零输入响应零状态响应中原工学院机电学院若所有的，自由响应随着时间逐渐衰减,当时自由响应则趋于零,系统稳定,自由响应称为瞬态响应.反之，只要有一个，即传递函数的相应极点在复数[s]平面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当时，自由响应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。isRe0istRe0is瞬态响应t稳态响应:指强迫响应。稳态响应中原工学院机电学院稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。的正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定；为负时,其绝对值的大小:决定自由响应衰减速度，及系统响应趋于稳态响应的速度；:决定自由响应的振荡情况，决定系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响响应的准确性。ReisImis系统稳定性、响应快速性、响应准确性Reis中原工学院机电学院确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。非确定性信号则反之，变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律。分析和设计系统:采用典型输入信号，比较其时间响应。任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，由关系式或（*表卷积），就能求出。1212()()()()()ooiiXsXsGsXsXs.0221()*()()*()ilioxtxtxtxt3.2典型输入信号确定性信号和非确定性信号:中原工学院机电学院输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和某些随机函数。a单位脉冲函数b单位阶跃函数c单位斜坡函数d单位抛物线函数e正弦函数f随机函数图3.2.1典型输入信号中原工学院机电学院单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故称位置输入信号；单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号；单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。下面分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应中原工学院机电学院一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递函数的一般形式为：T称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性，亦称一阶系统的特征参数。()()()ooidxtTxtxtdt0()1()()1iXsGsXsTs3.3一阶系统中原工学院机电学院输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应，记为而所以单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换，即所以0()()()()iWsXsGsXs()[()]1iXsLt()()WsGs111()[()][]1wtLGsLTs/1()(0)tTwtetT（3.3.1）()ixt()t()oxt()wt3.3.1一阶系统的单位脉冲响应中原工学院机电学院w(t)只有瞬态项，而B(t)为零。由式(3.3.1)可得表3.3.1t0T2T4T001T21T10.368T210.368T10.135T210.135T10.018T210.018T()wt()wt表3.3.1中原工学院机电学院一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线。过渡过程：将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为ts。系统的时间常数T愈小,愈短,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。脉冲响应形式类似与零输入响应。实际脉冲信号:具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来代替理想的脉冲信号,脉冲宽度与系统的时间常数T比，一般为:0.1hT中原工学院机电学院输入信号为单位阶跃函数时，即响应函数的Laplace变换式为：其时间响应函数[记为]为：由式（3.3.2）和式（3.1.12）可知，中是瞬态项，1是稳态项B(t)1()(),[()]ixtutLuts011()()()1iXsGsXsTss1/()[()]1(0)tTouoxtLXset()ouxt()ouxt/tTe（3.3.2）3.3.2一阶系统的单位阶跃响应中原工学院机电学院t00T0.6322T0.8654T0.98210()ouxt()ouxt1T210.368T210.135T210.018T由式（3.3.2）可得表3.3.2和图3.3.2表3.3.2中原工学院机电学院如图3.3.2所示，式（3.3.2）表示的一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为。曲线有两个重要的特征点。A点：其对应的时间t=T时，系统的响应达到了稳态值的63.2%；零点：其对应的t=0时，的切线斜率（响应速度）等于1/T。指数曲线的斜率，即速率是随时间t的增大而单调减小的，当t为时，其响应速度为零；当时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间时间常数T反映了固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。()oux()ouxt()ouxt()ouxt4tT4atT中原工学院机电学院输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，及稳态值；从响应曲线上找出0.632（即特征点A）所对应的时间t,或t=0点的切线斜率;参考式（3.3.1）求出，或者，由单位阶跃响应，根据关系；求得；由求得。()oux()oux()ouxt()()ouwtxt()wt()wt()[()]GsLwt()Gs()Gs实验法求一阶系统的传递函数1234中原工学院机电学院式中，为无阻尼固有频率；为阻尼比。显然与是二阶系统的特征参数，表明了二阶系统本身与外界无关的特性。由式（3.4.2）可见，随着阻尼比ξ取值的不同，二阶系统的特征根也不同。222()()2()()oonnonidxtdxtxtxtdtdt2022()()()2ninnXsGsXsss2220nnss（3.4.1）（3.4.2）3.4二阶系统二阶微分方程描述的系统称为二阶系统：nn二阶系统的特征方程：由此得两个特征根为122,1nns中原工学院机电学院（1）当0ξ1时，特征根为共轭复数一对位于复数[s]平面的左半平面内的共轭复数极点，系统为欠阻尼系统。（2）当ξ=0时，两特征根为共轭纯虚根，即系统为无阻尼系统。（3）当ξ=1时，特征方程有两个相等的负实根，即系统为临界阻尼系统。（4）当ξ1时，特征方程有两个不等的负实根系统为过阻尼系统。1,2nsj1,2ns22,11nnjs122,1nns中原工学院机电学院过阻尼二阶系统：传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。临界阻尼的二阶系统：传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。中原工学院机电学院输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统的输出称为单位脉冲响应函数，特别记为。对于二阶系统，因为而所以同样有：记，称为二阶系统的有阻尼固有频率。()()()oiXsGsXs()[()]1iXsLt()()Ws