幂函数的图像与性质(用)

幂函数问题引入(1)如果回收旧报纸每公斤１元,某班每年卖旧报纸ｘ公斤,所得价钱ｙ是关于ｘ的函数(2)如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;(3)如果正方体的边长为ｘ,正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ函数;(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ,这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数.我们先看几个具体问题:以上各题目的函数关系分别是什么？xyxy2xy3xy21xy15个函数式的共同特征：(2)底数是自变量；(1)指数是常数；yx2yx3yx12yx1yx(3)函数式前的系数都是1；归纳概括yx(4)形式都是，其中是常数.幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．)(Rxyx二、新课讲解(2)底数是自变量；(1)指数是常数；(3)函数式前的系数都是1；(4)形式都是，其中是常数.yx练习：判断下列函数哪几个是幂函数？222203113;(2);(3)2;1(4)1;(5)1;(6)(7)(1)(8)(9)xyyyxxyxyyxyxyxyx（）　　　；答案（2）（6）（8）联系旧知形成区别=01)xyaaa指数函数：（且=()yxR幂函数：指数函数与幂函数的对比自变量在指数位置自变量在底数位置xy2.0xy521xy1xy（指数函数）（幂函数）（指数函数）（幂函数）快速反应xy3（指数函数）5xy（幂函数）.),,2()(12式试求出这个函数的解析的图象过点：已知幂函数例xfyxy设所求的幂函数为解:)2,2(函数的图像过点这种方法叫待定系数法.21xy所求的幂函数为,222221即21例题讲解例2.如果函数是幂函数，求满足条件的实数m的值.2223()(1)mmfxmmx211mm220mm21mm或解：由题意有范例讲解三、五个常用幂函数的图象和性质(1)(2)(3)(4)(5)21xy2xy1xy3xyxy作出下列函数的图象:x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…2yx3yx12yx1yxy=x2yx2yx3yx12yx1yx3y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x294101494321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x3-27-8-1018274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x012401212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/31yx4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0公共点单调性奇偶性值域定义域y=x-1y=x1/2y=x3y=x2y=x奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞)RR{y|y≠0}［0,+∞)［0,+∞)x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增增x∈[0,+∞)时,减x∈(-∞,0]时,减二、新课讲解当a为奇数时,幂函数为奇函数,当a为偶数时,幂函数为偶函数.4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)0110图象特点性质oyx11oyx11oyx11在[0，+∞)为单调增函数.（慢增）在[0，+∞)为单调增函数.（快增）在（0，+∞)为单调减函数.(慢减)都经过定点（1，1）幂函数图象在第一象限的分布情况：1010＝1幂函数在第一象限的图像★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).★如果a0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在[0,+∞)上为增函数.★如果a0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数，一定不过点（0,0）.★一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，a越大图像越在上方，在Y轴与直线x=1之间正好相反。练习如图所示，曲线是幂函数y=xa在第一象限内的图象，已知a分别取四个值，则相应图象依次为:________11,1,,22C4C2C3C11提高训练例1.利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3(3)2.5-25与2.7-25解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,∵5.25.3∴5.20.85.30.8(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.20.3∴0.20.30.30.3(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.52.7∴2.5-2/52.7-2/5a10a1a0a=1a=0a10a1a0a=1a=0范例讲解(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小.例2用不等号填空：（1）5.1－2____5.9－2；（2）（3）若3a＞2a，则a____0。（4）1.30.5____0.51.3；1.73.5____1.73；1010＝1＞＞＞＞.,234.32121的取值范围则求若例mmm.,23314230,),0()(:21的取值范围即为且在定义域上是减函数的定义域是幂函数解mmmmxxf从而有是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数.例4.如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的值.2223()(1)mmfxmmx2211230mmmm2m2220230mmmm221230mmmm或解：由题意有3()fxx范例讲解已知函数是幂函数,并且是偶函数，求m的值。22233)(mxmmxf练习4：是幂函数因为解22233)(:mxmmxf1332mm12:mm或解之得是偶函数又因为)(xf舍去不符合题意，m12my21xy32xy(A)(B)(I)(C)X(G)(H)(D)(J)34xy3xy2xy35xy23xy31xy21xyxy(F)IGEBCAHJDF练习XXXXXXXXXOOOOOOOOOOyyyyyyyy(E)y