4.1-4.3--线性方程组的基本概念-(修改)

主要内容一、线性方程组的一般形式二、线性方程组的矩阵形式三、线性方程组的向量形式第4.1节线性方程组的基本概念一、线性方程组的一般形式mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111　　　　　则称方程组为如果,0b的一般形式为：个未知量的线性方程组个方程，含nm方程组型线性称为为常数和为未知量其中nmbaxxxiijn;,,,,21齐次线性方程组则称方程组为如果存在,0ib非齐次线性方程组例:22221211212111bxaxabxaxa1()　两直线相交于一点，则交点就是方程组的唯一解；　22型线性方程组的一般形式为:22,:其中每一个方程都表示平面上一条直线一个型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三种情况2()　平行，则该方程组无解.3()　重合,则直线上任何一个点都是方程组的解.例:000333232131323222121313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxa33型齐次线性方程组的一般形式为:123,,.X　　　　　　　　　　　　　　其解是一个与均正交的向量123000[,,][,,].TiiiiTaaa其中每一个方程都表示一个以向量为法向量，过点的平面1231000(),,[,,].TX若不共面，则方程组只有零解1232123(),,,,,iiX若共面但不共线，则垂直于的向量均是解，这些解彼此平行.1233(),,,i若共线，则以为法向的平面是所有向量都是解即解向量组成一个平面.()(),()(),()()mnIknIIIIIIII设有型线性方程组和型线性方程组如果和的解向量集定义4.合相等则称1和.为等价的线性方程组二、线性方程组的矩阵表示,,11mnnmbXAnm　　　　　型线性方程组可表示为利用矩阵乘法为线性方程组的称nmAXn维向量使矩阵等式成立的　　　　方程组的解是,,,ABPPABAXbBXPb设矩阵和是行初等变换下等价的矩阵即存在可逆矩阵使则线性方程组是等价的定线理4.1　性方程组;系数矩阵称为线性方][bA程组的;增广矩阵　mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111　　　　　证:说明：定理表明对增广矩阵作行初等变换不改变方程组的解..,,,,的一个解也是即　　　　　　　则有两边左乘矩阵有的任何一个解是方程组　　　设向量PbBXXPbBXPbAXbAXX故为等价的线性方程组同解和因此,,PbBXbAX的一个解是所以即则有两边左乘的一个解任取　　　反之bAXXbAXbBXPPPbBX,,,,,11三、线性方程组的向量形式1122.nnmnAxAxAxb则型线性方程组可表示为(）　向量与数的　乘法　　niaaaAiAAaATmiiiiinmij,,2,1,],,,[,,][21　　　　即列的第记用阵是线性方程组的系数矩设矩阵;的列向量的线性组合是方程组有解等价于Ab.线性组合的组合系数方程组的解就是列向量mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111　　　　　0.mnnAxRAn　　　元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩ABAxb　如何利用系数矩阵和增广矩阵，讨论线性方程组的解．思考:证有非零解02211nnAxAxAx定理1：线性相关nAAA,,,21nAAArn,,,21nAr即10.()()()()()mnAXAABACADA型齐次线性方程组只有零解的充要条件是　　的列向量线性无关的列向量线性相关　的行向量线性无关的行向量线性相关　思考题A证:必要性则有解,bAxBrAr即所以二者秩相等,的列向量的线性组合是AbbAAAAAAAnn,,,,,,,2121等价于的列向量组[].mnnAxbABAbrAb　　　　元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩定理2:充分性.,BrArbAAArAAArnn,,,,,,,2121即.,,,,,,,2121的极大线性无关组的极大线性无关组是bAAArAAArnnbAAArAAArnn,,,,,,,2121又的线性组合是故nAAAb,,,21有解即bAx证:必要性．[]mnnAXbrAbrAn　　　　元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是定理3:,2,则由定理有唯一解已知bAXArbAr][.221121,],,,[nnTnAxAxAxbxxx使且有唯一解向量,nAr设存在线性相关则向量组,,,,21nAAA0,,,,221121nnnAkAkAkkkk　　　　使不全为零的数[].mnnAxbABAbrAb　　　　元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩定理2:nnnnAkAkAkAxAxAxb22112211][,)()()(222111nnnAkxAkxAkx,],,,[2211的解也是故向量bAXkxkxkxTnn.([])().AXbrAbrAn与的解唯一矛盾故充分性．故有解方程组时,,)(])([bAXnArbAr.},,,{,},,,,{2121线性无关而线性相关nnAAAbAAA有唯一解从而唯一的线性表示可由由定理bAXAAAbn,,,,,2.32111220,nnkAkAkA因为所以2.,,()(),(),(),(),mnAXbrArArmAXbBrnAXbCmnAXbDrnAXb　对型非齐次线性方程组设则下列命题中正确的是　　　若则方程组有解　若则方程组有唯一解　若则方程组有唯一解　若则方程组有无穷多解A思考题..==,.mn1AmrArAbmArArAbmAXb因为从而成立时，有故有解.,,,,)(;,,,)(;,,)(;,,)()(,3,2,1,0,0:,0:,0::,,,,,,,,,.3213212132132132122333322221111321332123211线性无关线性相关　　　　　　线性无关　　　线性相关　　　　　　　　交于一点的充要条件是其中　　　　　　　则下列三条直线　设DrrCBAibacybxaLcybxaLcybxaLcccbbbaaaiiTTTD__________,,0,0,0.4321321321应该满足条件则只有零解　　　　　　若齐次线性方程组txxxxtxxxxtx1t与方程组有解等价的命题bAx;,,,21线性表示的列向量组能由向量nAAAAb;,,,,,,,2121等价与向量组向量组bAAAAAAnn.,,,,,,,2121的秩相等与矩阵矩阵bAAABAAAAnn线性方程组有解bAx小结:主要内容:一．Gauss消元法二．例题三．思考与练习第4.2节Gauss消元法用初等变换将一个线性方程组对线性方程组施行下列三种变换(1)互换两个方程的位置;定义4.2:(2)用一个非零数乘某一个方程(3)把某个方程的若干倍加到另外一个方程上,称为线性方程组的初等变换.化成增广矩阵是阶梯形的线性方程组的过程称为Gauss消元法(GaussianElimination)一、Gauss消元法基本思想:对线性方程组的增广矩阵进行初等变换,简化未知量的系数,把其变形为与原方程同解且易直接求解的阶梯形方程组bAx][bAA初等行变换化为阶梯形][dDDdDx同解方程组即:][bAA初等行变换:111211,1112212,122,1100000000000000000000rrnrrnrrrrrnrrssssstsssstssstt化为行阶梯形矩阵则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与原方程组同解。1,1112,122,11100010001(3)00000000000000000rnrnrrrnrrccdccdccdd化为行最简形矩阵由矩阵（3）可讨论原方程组的解的情况1)若，则方程组无解。10rd2)若10,rd则方程组有解，当rnrn有唯一解。有无穷多解。3)特别地，原方程组的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。当rnrn有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。例1求解齐次线性方程组.034022202432143214321xxxxxxxxxxxx解341122121221A463046301221施行初等行变换：对系数矩阵A13122rrrr二、例题0000342101221)3(223rrr212rr00003421035201即得与原方程组同解的方程组,0342,0352432431xxxxxx112212314252,342,3,,xccxccxcxc).,(43可任意取值xx由此即得,342,352432431xxxxxx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx.1034350122214321ccxxxx例２求解非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换322122351311321B13122rrrr10450104501132123rr20000104501132123r(),(),ArB显然，故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换2132111311101111B2121001420001111~.00000212100211011~2,rArB由于故方程组有解，且有2122143421xxxxx42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321xxxxxx.,42任意其中xx所以方程组的通解为例４121232343454515123450.xxaxxaxxaxxaxxaaaaaa证明方程组有解的充要条件是在有解的情况下，求出它的一切解．解对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为