2015年天津高考理科数学试题及答案解析(word精校版)

2015年天津高考理科数学试题及答案解析本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．柱体的体积公式V柱体=Sh锥体的体积公式V=V=1/3Sh其中S表示柱体的底面积其中S表示锥体的底面积，h表示柱体的高．h表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U，集合2,3,5,6A，集合1,3,4,6,7B，则集合A∩CuB=（A）2,5（B）3,6（C）2,5,6（D）2,3,5,6,8（2）设变量,xy满足约束条件2030230xxyxy，则目标函数6zxy的最大值为（A）3（B）4（C）18（D）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）10（B）6（C）14（D）18（4）设xR，则“21x”是“220xx”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O中，,MN是弦AB的三等分点，弦,CDCE分别经过点,MN.若2,4,3CMMDCN，则线段NE的长为（A）83（B）3（C）103（D）52（6）已知双曲线222210,0xyabab的一条渐近线过点2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线247yx的准线上，则双曲线的方程为（A）2212128xy（B）2212821xy（C）22134xy（D）22143xy（7）已知定义在R上的函数21xmfx（m为实数）为偶函数，记0.52(log3),log5,2afbfcfm，则,,abc的大小关系为（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba（8）已知函数22,2,2,2,xxfxxx函数2gxbfx，其中bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是（A）7,4（B）7,4（C）70,4（D）7,24第II卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i是虚数单位，若复数12iai是纯虚数，则实数a的值为.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m.（11）曲线2yx与直线yx所围成的封闭图形的面积为.（12）在614xx的展开式中，2x的系数为.（13）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为315，12,cos,4bcA则a的值为.（14）在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60ABDCABBCABC,动点E和F分别在线段BC和DC上,且1,9BEBCDFDC，则AEAF的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数22sinsin6fxxx，Rx(I)求()fx最小正周期；(II)求()fx在区间,34上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD-中，侧棱1AAABCD底面,ABAC,1AB=,12ACAA，5ADCD,且点M和N分别为11CDBD和的中点.(I)求证：MN∥平面ABCD(II)求二面角11DACB--的正弦值；(III)设E为棱11AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1EA的长18.（本小题满分13分）已知数列{}na满足*212(q)nN,1,2nnaqaaa为实数，且q1，，且233445,,aaaaaa+++成等差数列.(I)求q的值和{}na的通项公式；(II)设*2221log,nnnabnNa，求数列n｛b｝的前n项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)xyabab的左焦点为F-c（,0）,离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆422+4bxy=截得的线段的长为c，43|FM|=3.(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数()n,nfxxxxR，其中*n,n2N.(I)讨论()fx的单调性；(II)设曲线()yfx=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()ygx=,求证：对于任意的正实数x，都有()()fxgx；(III)若关于x的方程()=a(a)fx为实数有两个正实根12xx，，求证：21|-|21axxn+-.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。（1）A（2）C（3）B（4）A（5）A（6）D（7）C（8）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。（9）-2（10）83（11）16（12）1516（13）8（14）2918三、解答题（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。（I）解：由已知，有1cos(2)1cos23()22xxfx=1131cos2sin2cos22222xxx311sin2cos2sin24426xxx所以，()fx的最小正周期T=22(II)解：因为()fx在区间,36上是减函数，在区间,64上是增函数，134f，162f，344f.所以，()fx在区间,34上的最大值为34，最小值为12.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.（I）解：由已知，有22222333486()35CCCCPAC所以，事件A发生的概率为635.（II）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.45348()(1,2,3,4).kkCCPXkkC所以，随见变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望1331512341477142EX（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分.如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)A,(0,1,0),B(2,0,0)C,(1,2,0)D,1(0,0,2)A,1(0,1,2),B1(2,0,2),C(1,2,2)D.又因为M,N分别为1BC和1DD的中点，得11,,12M,(1,2,1)N.(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n为平面ABCD的一个法向量.MN=50,,02.由此可得MNn=0，又因为直线MN平面ABCD，所以MNMN∥平面ABCD.（II）解：1(1,2,2)AD，(2,0,0)AC.设1(,,)nxyz为平面1ACD的法向量，则1110,0,nADnAC即220,20.xyzx不妨设1z，可得1(0,1,1)n.设2(,,)nxyz为平面1ACBDE法向量，则1110,0,nABnAC又1AB(0,1,2)，得20,20.yzx不妨设z=1，可得2(0,2,1)n.因此有12121210cos,10nnnnnn，于是12310sin,10nn.所以，二面角11DACB的正弦值为31010。（III）解：依题意，可设111,AEAB，其中0,1，则0,,2E，从而1,2,1NE。又0,0,1n为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos,NEnNEnNEn2221(1)(2)1=13，整理得2430，又因为0,1，解得72.所以，线段1AE的长为72.(18)本小题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.（I）解：由已知，有34234534aaaaaaaa，即4253aaaa，所以2311aqaq.又因为1q，故322aa，由31aaq，得2q.当21()nkkN时，1122122nknkaa；当2()nkkN时，2222nknkaa.所以，na的通项公式为1222,2nnnnan为奇数，，为偶数.（II）解：由（I）得221212nnnnloganba.设nb的前n项和为nS，则0122111111123...122222nnnSnn，1231111111123...1222222nnnSnn，上述两式相减，得21111111221...212222222212nnnnnnnnnnS，整理得，1242nnnS.所以，数列nb的前n项和为1242nn，nN.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.（I）解：由已知有2213ca，又由222+abc，可得22223,2acbc.设直线FM的斜率为(0)kk，则直线FM的方程为()ykxc.由已知，有221kck+2222cb，解得33k.（II）解：由（I）得椭圆方程为2222132xycc，直线FM的方程为33yxc，两个方程联立，消去y，整理得223250xcxc，解得53xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为23,3cc.有222343()033FMccc