化妆品生产和销售

A化妆品生产销售问题模型摘要追求企业利润最大化是企业的根本目标。在生产过程中，生产经营者主要关注生产的产量、成本和利润。本文提出了在满足指标等系列条件的前提下，综合考虑各个指标对厂商利润的影响，以及各指标之间的关系，从而达到尽量控制5种原料的购进量及存储量及增大产品的销售量，从而使成本达到最小，利润最大的方案。针对问题一，我们利用经济学中公司盈利的相关模型，存储论中的存货模型、以及利用线性规划对指标、存储量、产量等进行条件限制。用经济学知识找出利润最大化的目标函数，建立一个线性规划模型，并运用lingo进行最优解，从而得出最大利润为18175.0元，并计算出在利润达到最大时的各种原料在各个月中的合理购进量和加工量(见文中表).在问题二中，我们考虑到参数的变化引起需求量的相应变化，从而引起利润的变化，因而，采用了列举有限个增长幅度的策略，在每个增长幅度限定的前提下，运用插值与拟合方法，对增长幅度与利润进行数据分析，得出两者关系。直观的，我们运用matlab画图，以缩小最优解的区间。用这几种方法结合，从而得到了对应的购进量与加工量的最优策略。-1-一、问题重述生产和销售一直是我们经济和生活中常见的问题。利润最大化是解决此类问题的首要标准。本题主要研究了在化妆品单位售价确定而原料价格不断没变化的情况下和各种生产条件限制下，应怎样调整采购量和加工量以使厂家获得最大利润。利润由销售额和总成本确定，总成本由储存成本和购买成本决定。而各种原料价格的变化又会影响每月的购入量、加工量、贮存量，这几个量之间有着相互制约相互变动的关系。同时我们也生产中各种约束条件考虑进去。如化妆品中添加剂的指标限制在3-6%之间，辅料主料每月加工量的限制，以及贮存限制等。我们要在销售单价不变的条件下解决如下问题。问题一：在题中所给在下半年5种基础原料的价格下，已知现存有每种原料50千克，并且12月底每种原料的存货仍为50千克，为使公司利润最大，应制定怎样的采购和加工方案。问题二：研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：8月份基础副料价格上升%x，基础原料价格上升2%x；9月份基础副料价格上升2%x，基础原料价格上升4%x；其余月份保持这种线性的上升势头。对不同的x值（在0到25之间）就方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面计划。二、模型假设1由题中成品化妆品和加工过的基础原料不能储存，假定加工后的化妆品立即全部售出；2加工过程中没有重量损失，费用不考虑；3假定加工过程中的基础原料是线性消耗的；4假定每月生产的化妆品中，原料的使用比例是按照价格的变化而变化的，即原料的使用比例不固定5生产周期为一个月。我们约定每个月月初按当月的价格采购原料，生产期间均匀消耗原料且不再进购原料。直到下一个生产周期（即下一月月初）进购新原料三、符号约定Pij：表示第i个月Aj原料的价格Xij：表示第i个月Aj原料的进货Yij：表示第i个月Aj原料的加工量Iij：表示第i个月初Aj原料的存货量，即第i-1个月生产后的存货量Vij：表示第i个月Aj原料的平均存储量-2-Cij：表示第i个月Aj原料的存储成本Di：表示第i个月的盈利D：表示半年的盈利，即我们要做的规划四、模型建立因本题中不涉及税费、销售、工资、订货成本等经济学中的相关问题，此处我们采用最基本的盈利模型，即：利润=销售额-成本。本题中，成品化妆品的售价固定为225元，每个月原料的价格也为已知。所以，要使公司获得最大利润，我们应使销售量（即加工量）尽可能大的同时，让成本尽量的小。因此，寻找最大利润的问题转化为寻找最优采购量与加工量的组合的问题。现在可以看出，问题已经转化为线性规划的问题。我们利用线性规划模型求解出最优的采购量与加工量组合，可以使下半年的利润最大化1、存储模型的确定每月的成本包括采购原料的费用和存储原料的成本两部分。因原料价格已知，采购原料费用为采购量的线性函数ijijXP。但存储原料的费用较为复杂，我们建立存储模型来求解每月的存储成本。根据存储论的无约束型存货基本模型（如下图所示），以及我们所做的假设，我们可以得到以下的结论：图1存储模型1、因每个月的生产是均匀生产，每天输出量保持不变。所以原料存储量是呈直线下降的。2、假设每个月之后月初的时候进购原料，生产期间原料均匀消耗。第二个月月初补充短缺的原料。输出时间仅为每个周期初。3、每个月可以缺货（即存货为0），但是存货只可以用来生产，不可以用来出售（即采购量不为负）。-3-图2生产周期中存货量可知，每月的存货成本=5×每月的平均存货量，即ijijVC5由物流守恒，得出jiijijijIYX,1I，如图2所示ijjijiijijijjijiijijijYIIXYXIII21)(21X21V,1,1,1,1可以得出，每月第j种原料的存储成本为：ijjiijijYIVC2555,12、生产过程中盈利模型根据会计学的原理，企业的净利润=销售额-原料成本-所得税-经营成本本题中将模型简化，不考虑所得税，经营成本中只考虑存货的成本。则模型简化为：D=C-X×P-Y×225营销额－成本＝盈利每个月的盈利51,151jijij51jiji255XPY225DjijjiYI半年的总盈利61i51j61i51j,161i51j61ii255225DDijjiijijijYIXPY三、求解模型盈利与两个变量有关，分别是进货量X和加工量Y。将X,Y设成决策量，总利润D为X与Y的线性函数。显然，我们应该建立线性规划模型来求解。上述问题的数学模型中，该厂每月进购原料的量为Xij和加工量为Yij时，总利润可以达到最大。根据以上分析，我们根据对偶理论建立了如下线性规划模型：目标函数：61i51j61i51j,161i51j61ii255225DDmaxijjiijijijYIXPY由jiijijijIYX,1I可得：iiiiijijjjiYXI111,1I目标函数转化为-4-750053555.257DDmax615161i51j61i51j61iiijijijijijXiXPYi约束条件61,61,15Y4Y2Y6Y8Y,,54,31,YX50I631000IX250Y200Y..6151,615i4i3i2i1iijiijijYjijijjijjiijjiits）（根据建立的线性规划模型，我们用lingo软件进行编程求解，程序如下model:sets:m/1..6/:;!定义月份下标集;n/1..5/:;!定义原料油种类下标集;ajz(m,n):c,x,y;!定义价格矩阵C,购买方案矩阵X和生产方案矩阵Y;endsetsdata:c=165180195165175195195165135175165210195150145180165180180185150180225165160135150210120220;enddatamax=@sum(m(i):@sum(n(j):(257.5-5*i)*y(i,j)-5*(7-i)*x(i,j)-c(i,j)*x(i,j)))-7500;!目标函数;@for(m(i):y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)=25);@for(m(i):y(i,4)+y(i,5)=20);@for(m(i):5.0*y(i,1)+3.0*y(i,2)-1.0*y(i,3)+1.0*y(i,4)+2.0*y(i,5)=0);@for(m(i):-2.0*y(i,1)-0.0*y(i,2)+4.0*y(i,3)+2.0*y(i,4)+1.0*y(i,5)=0);@for(n(j):@sum(m(i):x(i,j)-y(i,j))=0);-5-@for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)=0);@for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)=0);@for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)=0);@for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)=0);@for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)=0);@for(n(j):x(1,j)=50);@for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)=50);@for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)=50);@for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)=50);@for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)=50);@for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)=50);end运行后的结果(具体运行结果见附录一)：企业的最大利润MaxD=18175.0购进原料的量Xij的分布原料j月份i123451000002001.6675003000004000005230000670550700表1加工量Yij的分布原料j月份i12345110150200220502003025020042050200523.3301.67200-6-62050200表2至此，我们求解出了目标此情况下目标函数的最大值，即求出了最大的盈利为18175.0元，每月各种原料的采购与加工量如上两表所示。观察表中数据，发现前几个月进货很少，第一个月的进货都为0，后边几个月进货比较多。这是厂商为了节省存货成本而采用的方案。后面问题二的求解里，我们会详细说明这种现象的原因。四、问题二求解问题二的求解模型与问题一相同，只是问题一中的原料价格矩阵是已知且固定的，问题二中原料价格按一定线性比例增加。因此，问题二的求解，只需把问题一中的原料价格相应的改变一下即可。当每月原料的价格以x%的趋势线性增加时，增加后的价格矩阵可以表示为：%51175%51165%101195%101180%101165%41175%41165%81195%81180%81165%31175%31165%61195%61180%61165%21175%21165%41195%41180%41165%1175%1165%21195%21180%21165175165195180165xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxP改变lingo程序中的价格矩阵，得出当增幅X=1、2……25的时候，最大利润值如下表格：增幅x%123456利润684847463492.66297025062170增幅x%789101112利润2046.661936.661826.661716.6616371604增幅x%131415161718利润157115381505147214391406增幅x%192021222324利润137313401307127412