地球表面两点最短线路的确定及距离计算

地球表面两点最短线路的确定及距离计算高中地理教材中有关“地球运动的地理意义”的内容，一直是地理教学的重点和难点，但教材中不仅图文资料少，而且对相关结论又缺少足够的分析，尤其缺少在实际应用方面的内容。面对空间想象力和数学水平不太高的学生，我们该如何帮助他们全面正确认识地球表面两点最短线路的确定及距离计算？一、球面上最短线路的确定在地球表面上，两点间最短距离是球面上通过这两点的大圆的劣弧长。为什么大圆就是最短线路呢？如图，图中是过a和b的两个圆。可以明显看出，在ab两点中走大圆的圆弧线路短些。圆越大，弧的曲度就越小，线路就越接近直线（因为球面上不可能有直线）。具体掌握以下两种情况，问题就可迎刃而解。（1）若两点的经度差等于180度，且不在赤道上，则经过两点的大圆便是经线圈，这两点间的最短航程须经过极点，具体又分三种情况：a.若两点同位于北半球，最短航程须经过北极点，其航行方向一定是先向正北，过极点后向正南。b.若两点同位于南半球，最短航程须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过极点后向正北。c.若两点同位于南、北不同半球，这时需要讨论经过北极点的为劣弧还是经过南极点的为劣弧，然后再确定最短航程的走向。如下图甲中，A点到B点的最短航程经过北极点，C点到D点的最短航程经过南极点，C点到B点的最短航程经过北极点，A点到D点的最短航程经过南极点。(2)若两点的经度差不等于180度，则经过两点的大圆便不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航程也不经过极点。若甲、乙两地在此大圆最北两侧或者最南两侧，具体分为两种情况：a.甲地位于乙地的东方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向西北，后向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于南、北不同半球时需要具体讨论哪一段为劣弧段。b.如上图乙中A点到B点的最短航程为先向东北，再向东，最后向东南，D点到C点的最短航程为先向西南，再向西，最后向西北。还需注意的是此类题目有时并不直接给出经纬网地图，而是通过语言的描述来进行考查，这属于“无图考图”。例如，若A点以西为东半球，以东为西半球，以南为南半球，以北为北半球则可判断该点的地理坐标为（0°，160°E）。二、球面上两点间距离的计算一般来说，球面上两点的距离指最短距离，也就是球面上两点间最短线路的长度。前面已经讨论了最短线路是经过大圆的弧。那么如果知道这段弧长所对应的球心角的度数就可以计算距离了。因为地球表面的经线圈、赤道及所有以地心为圆心的大圆长度都为4万千米，所以：1.同一经线上，全球各地纬度相差1°的间隔长度都相等（因为所有经线圈的长度为大圆，都相等），大约是111千米；2.赤道上经度相差1°对应的弧长大约也是111千米；3.由于各纬线圈从赤道向两极递减，60°纬线上的长度为赤道上的一半，所以在各纬线上经度差1°的弧长就不相等，纬度越高，同一纬线上经度相差1°的弧长就越短。纬度为α的纬线上，经度1°对应的弧长为111×cosα千米（需要注意的是：除赤道外，位于同一纬线上两点距离并不是二者的最短距离，因为纬线并不是过圆心的大圆）。4.如果在不同经度和不同纬度上，计算两点间距离时可进行估算。一是可以先假设两点的经度相同或纬度相同，然后再根据实际情况扩大或缩小；二是可以先算出比例尺，进而算出两点间距离。三、相关应用某飞机由甲飞往乙，选择最短航程路线、合适的航向，其最短距离应（小于、等于、大于）2222.2千米。丙、丁之间的距离应（小于、等于、大于）丙、乙之间的距离。只要明白上面的原理就能作出正确的解答。在地球表面上，两点间最短距离是球面上通过这两点的大圆的劣弧长，由图可知在南半球，故先向西南，再向西，最后向西北飞行。最短距离=111×cosα×40千米=111×cos60°×40千米=2222.2千米。丙乙间距离与丙丁间的所跨经纬度相同，但丙、乙间纬度较低，故距离较长。本栏责任编辑罗峰实习编辑蔡鸿生