2016年全国数学建模竞赛A题国家一等奖

1基于集中质量、仿真和灰色关联分析法对系泊系统的研究摘要系泊系统是近浅海观测网的重要组成部分，如何设计最优的系泊系统从而促进信号的传播具有重要的意义。本文针对最优系泊系统的设计进行研究，主要解决了如何确定锚链的型号、长度和重物球的质量使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小的问题，同时考虑在不同风速，不同海水速度下的锚链形状和浮标的游动区域的问题，给出了最优系泊系统设计的方案。针对问题一我们采用集中质量法将系统中的各个物体视为一个质点，对各个物体建立静力平衡方程，在水深18m时给定浮标在海水中所受浮力，从而根据我们建立的平衡方程求出各物体的倾斜角度，再根据几何关系求出海域的模拟深度，通过不断修正浮标的浮力使得海域的模拟深度等于18m，最终求得风速分别为12m/s和24m/s时浮标的吃水深度0h为0.7397m和0.74883m，同时给出不同风速下钢桶和各节钢管的倾斜角度及浮标的最远位置（浮标的游动区域视为一个圆面）。考虑到锚链由210节链环构成，通过对每节链环进行受力分析确定了每节链环的位置，从而给出了链环的形状图像。在求解过程中由于拉力具有不确定性，我们通过两次角度代换使得程序可以顺利地运行。针对问题二我们沿用了问题一的算法，求得风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度，锚链形状和浮标的游动区域。其中钢管的倾斜角度007.9985，锚链末端与锚的链接处的切线方向与河床的夹角0017.82916，不符合设备的工作要求。通过绘制不同质量的重物球分别和0,,h的散点图，得出了重物球的质量与,成负相关，与0h成正相关的结论，同时绘制了不同质量的重物球下系泊系统的大致图像。然后沿用问题一的算法，在5,16,2h的限制条件下，逐渐增加重物桶的质量，求得重物球的质量范围为1800,5200kgkg。针对问题三的第一个子问题我们首先考虑最恶劣的环境，即布放点的海水速度达到最大值1.5m/s、风速达到最大值36m/s。接着利用穷举法给出了锚链型号、长度和重物球质量不同组合的1000种系泊系统设计方案，在问题2的限制条件下遴选可行的方案，在不同的水深下建立灰色关联分析综合评价模型，计算不同水深的关联度值，将同一方案的关联值相加，最终将关联度值最高的设计方案确定为最优的系泊系统的设计，得到了最优的系泊系统设计方案为锚链的型号为V，长度为20m，重物球的质量为3900kg。针对问题三的第二个子问题，我们在最优的设计方案下，改变风速和海速，得到了不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。关键词：系泊系统；平衡受力分析；集中质量法；仿真；灰色关联分析法21、问题重述本题着重讨论了系泊系统的设计，以相关的物理知识为基础，利用几何求解和最优规划等数学工具，解决以下几个问题：问题一：在电焊锚链的型号和长度、重物球质量、水深、海水密度已知的情况下，不考虑海水的流动，分别计算海面风速为12m/s、24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题二：问题一的假设不变，风速为36m/s时可能会出现钢桶的倾斜角超过5度，锚链末端与锚的链接处的切线方向与河床的夹角超过16度的现象，如何调节重物球的质量，使得系泊系统符合设计的角度要求。问题三：将问题三分解为两个子问题1.考虑潮汐等因素的影响，如何设计系泊系统使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。2：布放海域的风力、水流力和水深情况在一定的范围内变动，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2、问题分析问题一的分析：考虑到钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域与整个系泊系统的各部分受力情况息息相关，于是对浮标、各节钢管、钢桶和各个锚链一一进行受力分析，在浮标、钢管、钢桶、锚链和锚平衡状态下，得出它们的静力平衡方程，从而计算出各拉力和各个倾斜角度，由于钢管、钢桶、锚链长度已知，结合角度关系，建立以锚链的末端与锚的链接点为坐标原点的直角坐标系，通过matlab编程绘制出整个系泊系统的图像，最后通过几何关系判断锚是否会着底。在满足水深为18m的条件下，求得海面风速分别为12/ms和24/ms时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度和游动区域。其中游动区域是以游动区域半径衡量的，游动区域半径长度指的是锚向海平面的竖直投影点到浮标平衡位置的距离，游动区域是一个圆面。问题二的分析：问题一的条件不变，沿用问题一的算法可以计算出海面风速为36/ms时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域；考虑到在重物球为1200kg时，钢桶的倾斜角超过了5度，锚链末端与锚的链接处的切线方向与河床的夹角超过了16度，不改变其他条件分析可知重物球的质量与钢桶的倾斜角和锚链末端与锚的链接处的切线方向与河床的夹角成负相关，即重物球质量越大，和越小，故在05,16,2ooh条件下，可以通过不断调节重物球的质量，找到重物球的最小质量和最大质量。问题三的分析：对问题三第一个子问题的分析：系泊系统的设计问题就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。沿用问题一的算法，增加一个与风力方向相同的水流力，近海水水流力可以3通过近似公式2=374slslslFSV计算。考虑最恶劣的环境，布放点的海水速度达到最大值1.5m/s、风速达到最大值36m/s。根据穷举法原理，给出锚链型号、长度和重物球质量不同组合下的1000种系泊系统的设计方案，水深在16米至20米的区间内变化，我们可以从中遴选出钢桶倾斜角度小于5度，锚链末端与锚的链接处的切线方向与河床的夹角小于16度的设计方案，在不同的水深下建立灰色关联分析综合评价模型，计算不同水深的关联度值，将同一方案的关联值相加，最终将关联度值最高的设计方案确定为最优的系泊系统的设计。对问题三第二个子问题的分析：在子问题一所确定的最优系泊系统设计的条件下，可以通过不断改变海水速度和风速，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。3、模型假设3.1假设钢管与钢管链接点的质量忽略不计。3.2假设重物球和锚链在海水中所受浮力忽略不计。3.3假设海面风速和海水流速为单向流，且方向一致沿X轴正方向。3.4假设近浅海观测网的传输节点位于同一平面。3.5假设在海水流动情况下，仅考虑水流力对浮标、钢管和钢桶的影响，对锚链和重物球的影响忽略不计。3.6假设在海水流动情况下，锚受到的水流力不影响锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角。3.7假设链环在拉力作用下形状不发生改变。4、符号说明4.1符号说明浮标的符号说明：符号符号说明符号符号说明0m浮标质量0h浮标的吃水深度g重力加速度0F浮标所受海水浮力0G浮标重力fS浮标在风向法平面的投影面积海水密度fV风速V排浮标排开海水的体积0W浮标受到的海风载荷力s圆柱体底面积0T第一节钢管对浮标的拉力钢管的符号说明：4符号符号说明符号符号说明i即第i节钢管倾斜角度,1iiT第1i节钢管对第i节钢管的拉力ggm每节钢管质量1,iiT第i节钢管对第1i节钢管的拉力ggG每节钢管重力10T，浮标对第一节钢管的拉力ggd每节钢管直径45T，钢桶对第四节钢管的拉力ggh每节钢管长度5,4T第四节钢管对钢桶的拉力ggF每节钢管所受海水浮力ggV钢管的体积钢桶的符号说明：符号符号说明符号符号说明gtm钢桶质量gtF钢桶所受海水浮力gtG钢桶重力gth钢桶的长度zwqm重物球质量gtd钢桶的外径zwqT重物球拉力钢桶的倾斜角度链环（锚链）的符号说明：符号符号说明符号符号说明lhm每节链环的质量mlL锚链的长度lhG每节链环的重力jp锚链为j型号时的单位长度质量'0,1T第一节链环对钢桶拉力',1jjT第j+1节链环对第j节链环的拉力'1,0T钢桶对第一节链环的拉力'1,jjT第j节链环对第j+1节链环的拉力i第i节链环的倾斜角度锚的链接处的切线方向与海床的夹角问题三的符号说明符号符号说明符号符号说明slF近海水水流力(k)i比较数列ix在第k5个指标的关联系数slS物体在水流速度法平面的投影面积分辨系数slV水流速度0minmin(t)(t)sstxx两级最小差权重0maxmax(t)(t)sstxx两级最大差0x参考数列ir第i个设计方案的灰色关联度值5、模型建立与求解5.1问题一：在海水静止时不同风速下系泊系统的数学模型求解过程的流程图如下：对浮标进行设计分析假设浮标的浮力在浮标受力平衡下求出对一号钢管的拉力与其夹角依次对各钢管、钢桶、锚链中的各个链环进行受力分析，迭代求出各物体的拉力及其倾斜角将物体高度乘以倾斜角的余弦值得出系泊系统竖直方向的高度判断锚是否着地（即计算的高度与题目所给的海底深度之间是否相等）误差范围外（修正浮标的浮力）误差范围内记录所需的倾斜夹角、吃水深度、游动区域并用程序仿真锚链形状、5.1.1系泊系统求解分析和模型建立考虑静止情况下的集中质量受力分析法，注意到海水静止，故不需考虑海水对钢管、钢桶和锚链的水流阻力。现分别对系泊系统中的物体进行受力分析：浮标受力分析设风力方向沿X轴正方向，为单向平面流。在海水静止时，浮标受到的力有重力0G，浮力0F,海风荷载力0W和钢管拉力0T，如图1所示6图1：浮标静力平衡状态的受力示意图其中x轴正方向为锚向海平面的竖直投影点指向浮标，Y轴正方向为竖直向上，后面图形中的方向取向与图1相同。根据浮标质量，计算浮标重力：00Gmg（1-1）浮标所受浮力由其排开海水的体积和海水密度决定，浮标为圆柱体，所以其浮力计算为：00=FgVgsh排（1-2）式(1-2)中表示海水密度；V排表示浮标排开海水的体积；s表示圆柱体底面积；0h表示浮标的吃水深度由说明可知，近海风荷载可通过近似公式20=0.625WSV计算：20=0.625ffWSV、02(2)fSh（1-3）式（1-3）中，fS表示浮标在风向法平面的投影面积；fV表示风速浮标处于平衡状态，将各个分力正交分解，静力平衡方程由（1-4）式给出：0001001cossinFGTWT竖直方向上：水平方向上：（1-4）式（1-4）中，1表示第一节钢管的倾斜角度求解（1-4）静力平衡方程，可以得出浮标下端钢管拉力0T和第一节钢管的倾斜角度1：72200000100()arctanTFGWWFG（1-5）在上述计算中，由于浮标在海水中所受浮力是未知的，从而导致浮标的吃水深度无法计算得出，需要给定浮力初始值0F，从而得到0T和1。钢管受力分析将钢管看作一个质点，对每节钢管一一受力分析，如图2所示，由于每节钢管规格一致，即质量、长度和直径相同，所有每节钢管重力和所受浮力相等。每节钢管受到的力有钢管自身重力ggG、浮力ggF、上一节钢管拉力,1iiT和下一节钢管拉力,1iiT，(1,2,3,4)i，其中10T，表示浮标对第一节钢管的拉力，45T，表示钢桶对第四节钢管的拉力。图2：钢管静力平衡状态的受力示意图根据牛顿第三定律，力的作用相互性可知，01,0,11,iiiiTTTT（2-1）根据每节钢管质量，计算每节钢管质量：ggggGmg（2-2）已知每节钢管直径和长度的条件下，根据浮力公式计算出每节钢管的海下浮力：2()4ggggggggpidFgvgh（2-3）8每节钢管处于平衡状态，将各个分力正交分解，静力平衡方程由（2-4）式给出：竖直方向：,1+1,1coscosggiiiggiiiGTFT水平方向上：,1+1,1sinsiniiiiiiTT（2-4）式（2-4）中，i表示第i节钢管的倾斜角度在已知0T、1、ggG、ggF的前提条件下，由（2-4）静力平衡方程可以求得第二节钢管对第一节钢管的拉力1,2T及第二节钢管的倾斜角度2，依次迭代下去，可以求得各节钢管对上一节