2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年福建，理1，5分】若集合234i,i,i,iA（i是虚数单位），1,1B，则AB等于（）（A）1（B）1（C）1,1（D）【答案】C【解析】由已知得i,1,i,1A，故1,1AB，故选C．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（）（A）yx（B）sinyx（C）cosyx（D）xxyee【答案】D【解析】函数yx是非奇非偶函数；sinyx和cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916xyE的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且13PF，则2PF等于（）（A）11（B）9（C）5（D）3【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PFPFa，即2326PFa，解得29PF，故选B．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybxa，其中ˆˆˆ0.76,baybx，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）（A）11.4万元（B）11.8万元（C）12.0万元（D）12.2万元【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x（万元），6.27.58.08.59.885y（万元），故80.76100.4a，所以回归直线方程为0.760.4yx，当社区一户收入为15万元家庭年支出为0.76150.411.8y（万元），故选B．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量,xy满足约束条件200220xyxyxy，则2zxy的最小值等于（）（A）52（B）2（C）32（D）2【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2yxz，当z最小时，直线2yxz的纵截距最大，故将直线2yx经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B时，z取到最小值，最小值为152122z，故选A．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）2（A）2（B）1（C）0（D）-1【答案】C【解析】程序在执行过程中,Si的值依次为：0,1Si；0,2Si；1,3Si；1,4Si；0,5Si；0,6Si，程序结束，输出0S，故选C．（7）【2015年福建，理7，5分】若,lm是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“//l”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若lm，因为m垂直于平面，则//l或l，若//l，又m垂直于平面，则lm，所以“lm”是“//l”的必要不充分条件，故选B．（8）【2015年福建，理8，5分】若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于（）（A）6（B）7（C）8（D）9【答案】D【解析】由韦达定理得abp，abq，则0,0ab，当,,2ab适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故4abq，4ba．当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当a是等差中项时，422aa，解得1,4ab；当4a是等差中项时，82aa，解得4,1ab，综上所述，5abp，所以9pq，故选D．（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,ABACABACtt，若点p是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABAC，则PBPC的最大值等于（）（A）13（B）15（C）19（D）21【答案】A【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0Bt，0,Ct，1,040,11,4AP，即1,4P，所以11,4PBt，1,4PCt，因此111416174PBPCtttt，因为114244tttt，所以当14tt，即12t时取等号，PBPC的最大值等于13，故选A．（10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是（）（A）11fkk（B）111fkk（C）1111fkk（D）111kfkk【答案】C【解析】由已知条件，构造函数gxfxkx，则0gxfxk，故函数gx在R上单调递增，且101k，故101ggk，所以1111kfkk，1111fkk，所以结论中一定错误的是C，选项D不确定；构造函数hxfxx，则10hxfx，所以函数hx在R上单调递增，且10k，所以10hhk，即111fkk，111fkk，选项A，B无法判断，故选C．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】52x的展开式中，2x的系数等于（用数字填写答案）．【答案】80xyBCAP3【解析】52x的展开式中2x项为2325280Cx，所以2x的系数等于80．（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角ABC的面积为103，且5AB，8AC，则BC等于．【答案】7【解析】由已知得ABC的面积为1sin20sin1032ABACAA，所以3sin2A，0,2A，所以3A．由余弦定理得2222cos49BCABACABACA，7BC．（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函数2fxx，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433xdx．所以此点取自阴影部分的概率等于553412．（14）【2015年福建，理14，5分】若函数6,23log,2axxfxxx（0a且1a）的值域是4,，则实数a的取值范围是．【答案】1,2【解析】当2x，故64x，要使得函数fx的值域为4,，只需13log2afxxx的值域包含于4,，故1a，所以13log2afx，所以3log24a，解得12a，所以实数a取值范围是1,2．（15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串*12nxxxnN，其中1,2,,kxkn称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127xxx的码元满足如下校验方程组：456723671357000xxxxxxxxxxxx，其中运算定义为：000,011,101,110，其中运算定义为：000,011,101,110．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于__．【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670xxxx可判断后4个数字出错；由23670xxxx可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570xxxx可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则543()654PA12．（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653PXPXPX所以X的分布列为X123p1616234所以1125()1236632EX．（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEG，BEEC，2ABBEEC，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：//GF平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．解：解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE中点，所以//GHAB，且12GHAB，又F是CD中点，所以12DFCD，由四边形ABCD是矩形得，//ABCD，ABCD所以//GHDF．且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以//GFDH，又DH平面ADE，GF平面ADE，所以//GF平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作//BQEC，因为BECE，所以BQBE，因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ，以B为原点，分别以,,BEBQBA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1ABEF，因为AB平面BEC，所以0,0,2BA为平面BEC的法向量，设(,,)nxyz=为平面AEF的法向量，又2,0,2AE，2,2,1AF，由00nAEnAF得220220xzxyz，取2z=得2,1,2n．从而42cos,323||||nBAnBAnBA，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接,MGMF，又G是BE的中点，可知//GMAE，又AE平面,ADEGM平面ADE，所以//GM平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得//MFAD，又AD平面,ADEMF平面ADE，所以//MF平面ADE，又因为,GMMFMGM平面,GMFMF平面GMF，所以平面//GMF平面ADF，因为GF平面GMF，所以//GF平面ADE．（2）同解法一．（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆E：22221(a0)xybab+=过点(0,2），且离心率为22e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线:1lxmymR交椭圆E于A，B两点，判断点9,04G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：解法一：（1）由已知得222222bcaabc解得222abc