数学导数练习(高考题含答案)

1、已知函数32()331.fxxaxx(I)设,求2a()fx的单调区间；(II)设()fx在区间(2,3)上有一个极值点,求a的取值范围.（1）解：（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(23)(23)fxxxxfxxx当(,23)x时()0,()fxfx在(,23)单调增加；当(23,23)x时()0,()fxfx在(23,23)单调减少；当(23,)x时()0,()fxfx在(23,)单调增加；综上所述，()fx的单调递增区间是(,23)和(23,)，()fx的单调递减区间是(23,23)（Ⅱ）22()3[()1]fxxaa，当210a时，()0,()fxfx为增函数，故()fx无极值点；当210a时，()0fx有两个根22121,1xaaxaa由题意知，22213,213aaaa或①式无解，②式的解为5543a，因此a的取值范围是5543，.2、设函数()sincos1,02fxxxxx，求函数()fx的单调区间与极值.（2）解：3、已知函数32()fxaxxbx(其中常数a,b∈R),()()()gxfxfx是奇函数.(Ⅰ)求()fx的表达式;(Ⅱ)讨论()gx的单调性，并求()gx在区间[1,2]上的最大值和最小值.（3）解：4、已知函数f（x）＝（x－a）²（x－b）（a，b∈R，ab）．（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．（4）解：（Ⅰ）解：当a=1,b=2时，因为f（x）=（x-1）（3x-5）．故f（2）=1．又f（2）＝0，所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x－2．（Ⅱ）证明：因为f（x）＝3（x－a）（x－23ab），由于ab．故a23ab．所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝23ab．不妨设x1＝a，x2＝23ab，因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，故x3＝b．又因为23ab－a＝2（b－23ab），x4＝12（a＋23ab）＝23ab，所以a，23ab，23ab，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4＝23ab．5、已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．（5）解：解析：（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2aaxaxxf又3)2()0(0)0(aafbf，解得0b，3a或1a（Ⅱ）由'()0fx,得122,3axax又()fx在(1,1)上不单调,即2311aaa或211323aaa解得1112aa或5112aa所以a的取值范围是11(5,)(,1)22.6、设函数axxxaxf22ln)(，0a（Ⅰ）求)(xf的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使2)(1exfe对],1[ex恒成立．注：e为自然对数的底数．（6）解：200904237、已知a是实数，函数2()fxxxa.（Ⅰ）若f1(1)=3,求a的值及曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程；（Ⅱ）求)(xf在区间[0，2]上的最大值。（7）解：（I）解：2'()32fxxax．因为'(I)323fa，所以0a．又当0a时，(I)1,'(I)3ff，所以曲线()(1,(I))yfxf在处的切线方程为3xy--2=0．（II）解：令'()0fx，解得1220,3axx．当203a，即a≤0时，()fx在[0，2]上单调递增，从而max(2)84ffa．当223a时，即a≥3时，()fx在[0，2]上单调递减，从而max(0)0ff．当2023a，即03a，()fx在20,3a上单调递减，在2,23a上单调递增，从而max84,02.0,23.aafa综上所述，max84,2.0,2.aafa8、已知函数f（x）=3231()2axxxR，其中a0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.（8）解：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f’(x)=233xx,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=2333(1)axxxax.令f’(x)=0，解得x=0或x=1a.以下分两种情况讨论：（1）若110a2a2，则，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，0120，f’(x)+0-f(x)极大值当11xfx22，时，（）0等价于5a10,()0,8215a()0,0.28ff即解不等式组得-5a5.因此0a2.（2）若a2，则110a2.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01a0，1a11a2，f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当11x22，时，f（x）0等价于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式组得252a或22a.因此2a5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5.9、aaxxaxxf244)1(31)(23(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（9）解：（I）)2)(2(4)1(2)(2axxaxaxxf由1a知，当2x时，0)(xf，故)(xf在区间)2,(是增函数；当ax22时，0)(xf，故)(xf在区间)2,2(a是减函数；当ax2时，0)(xf，故)(xf在区间),2(a是增函数。综上，当1a时，)(xf在区间)2,(和),2(a是增函数，在区间)2,2(a是减函数。（II）由（I）知，当0x时，)(xf在ax2或0x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1()2(31)2(23aaa2443423af24)0(由假设知,0)0(,0)2(1fafa即.024,0)6)(3(34,1aaaaa解得1a6故a的取值范围是（1，6）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设函数，其中常数a110、设函数329()62fxxxxa（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值；（2）若方程()0fx有且仅有一个实根，求a的取值范围(10)解：(1)'2()3963(1)(2)fxxxxx,因为(,)x,'()fxm,即239(6)0xxm恒成立,所以8112(6)0m,得34m，即m的最大值为34(2)因为当1x时,'()0fx;当12x时,'()0fx;当2x时,'()0fx;所以当1x时,()fx取极大值5(1)2fa;当2x时,()fx取极小值(2)2fa;故当(2)0f或(1)0f时,方程()0fx仅有一个实根.解得2a或52a.11、设函数()xefxx（1）求函数()fx的单调区间；（2）若0k，求不等式'()(1)()0fxkxfx的解集．（11）解：(1)'22111()xxxxfxeeexxx,由'()0fx,得1x因为当0x时,'()0fx；当01x时,'()0fx；当1x时,'()0fx；所以()fx的单调增区间是:[1,)；单调减区间是:(,0)(0,1]，.(2)由2'21()(1)()xxkxkxfxkxfxex2(1)(1)0xxkxex,得：(1)(1)0xkx.故：当01k时,解集是：1{1}xxk；当1k时，解集是：；当1k时,解集是：1{1}xxk12、已知函数3()31,0fxxaxa求()fx的单调区间；若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。（12）解：解：（1）'22()333(),fxxaxa当0a时，对xR，有'()0,fx当0a时，()fx的单调增区间为(,)当0a时，由'()0fx解得xa或xa；由'()0fx解得axa，当0a时，()fx的单调增区间为(,),(,)aa；()fx的单调减区间为(,)aa。（2）()fx在1x处取得极大值，'2(1)3(1)30,1.faa3'2()31,()33,fxxxfxx由'()0fx解得121,1xx。由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，在1x处取得极小值(1)3f。直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，又(3)193f，(3)171f，结合()fx的单调性可知，m的取值范围是(3,1)。13、已知函数3223()39fxxaxaxa.(1)设1a，求函数fx的极值；(2)若14a，且当1,4xa时，)('xf12a恒成立，试确定a的取值范围.（13）解：（Ⅰ）当a=1时，对函数()fx求导数，得'2()369.fxxx令'12()0,1,3.fxxx解得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m列表讨论'(),()fxfx的变化情况：x(,1)1（-1，3）3(3,)'()fx+0—0+()fx极大值6极小值-26所以，()fx的极大值是(1)6f，极小值是(3)26.f（Ⅱ）'22()369fxxaxa的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若'11,()4afx则在[1,4a]上是增函数，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m'()fx在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,faa最大值是'2(4)15.faa由'22|()|12,1236912,fxaaxaxaa得于是有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m'2'2(1)36912,(4)1512.faaafaaa且由''14(1)121,(4)120.35faafaaa得由得所以11414(,1][,1][0,],(,].43545aa即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若a1,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12faaaxafxa故当时不恒成立.所以使'|()|12([1,4])fxaxa恒成立的a的取值范围是14(,].45w.w.w.k.s.5.u.c.o.m