线性代数习题集(带答案)

1第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是().(A)24315(B)14325(C)41523(D)243512．如果n阶排列njjj21的逆序数是k,则排列12jjjn的逆序数是().(A)k(B)kn(C)kn2!(D)knn2)1(3.n阶行列式的展开式中含1211aa的项共有()项.(A)0(B)2n(C))!2(n(D))!1(n4．0001001001001000().(A)0(B)1(C)1(D)25.0001100000100100().(A)0(B)1(C)1(D)26．在函数1000323211112)(xxxxxf中3x项的系数是().(A)0(B)1(C)1(D)227.若21333231232221131211aaaaaaaaaD，则3231333122212321121113111222222aaaaaaaaaaaaD().(A)4(B)4(C)2(D)28．若aaaaa22211211，则21112212kaakaa().(A)ka(B)ka(C)ak2(D)ak29．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4,第3行元的余子式依次为x,1,5,2,则x().(A)0(B)3(C)3(D)210.若5734111113263478D，则D中第一行元的代数余子式的和为().(A)1(B)2(C)3(D)011.若2235001011110403D，则D中第四行元的余子式的和为().(A)1(B)2(C)3(D)012.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组000321321321xxkxxkxxkxxx有非零解.()(A)1(B)2(C)3(D)0二、填空题31.n2阶排列)12(13)2(24nn的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432aaaaaa所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322aa且带正号的项是.4．若一个n阶行列式中至少有12nn个元素等于0,则这个行列式的值等于.5.行列式0100111010100111.6．行列式000100002000010nn.7．行列式0001)1(2211)1(111nnnnaaaaaa.8．如果MaaaaaaaaaD333231232221131211，则3232333122222321121213111333333aaaaaaaaaaaaD.9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.410．行列式1111111111111111xxxx.11．n阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D，jA4)4,3,2,1(j为D中第四行元的代数余子式，则44434241234AAAA.14．已知dbcaccabbabcacbaD，D中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D，jA4为)4,3,2,1(4jaj的代数余子式，则4241AA，4443AA.516．已知行列式nnD0010301002112531，D中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组0020232121321xxxkxxxxkx仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组0230520232132321kxxxxxxxx有非零解，则k=.三、计算题1.cbadbadcadcbdcbadcbadcba33332222;2．yxyxxyxyyxyx；3．解方程0011011101110xxxx；4．111111321321221221221nnnnaaaaxaaaaxaaaaxaaaax；65.naaaa111111111111210(njaj,,1,0,1)；6.bnbb)1(1111211111311117.nabbbaabbaaab321222111111111；8．xaaaaxaaaaxaaaaxnnn321212121;9.2212221212121111nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx;10.210001200000210001210001211．aaaaaaaaaD110001100011000110001.7四、证明题1．设1abcd，证明：011111111111122222222ddddccccbbbbaaaa.2．3332221112333332222211111)1(cbacbacbaxcbxaxbacbxaxbacbxaxba.3．))()()()()()((111144442222dcbacdbdbcadacabdcbadcbadcba.4．njiijniinnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa1121222212222121)(111.5．设cba,,两两不等，证明0111333cbacba的充要条件是0cba.8参考答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1.n;2.”“;3.43312214aaaa;4.0;5.0;6.!)1(1nn;7.1)1(212)1()1(nnnnnaaa;8.M3;9.160;10.4x;11.1)(nn;12.2;13.0;14.0;15.9,12;16.)11(!1nkkn;17.3,2k;18.7k三．计算题1．))()()()()()((cdbdbcadacabdcba；2.)(233yx；3.1,0,2x;4.11)(nkkax5.)111()1(00nkknkkaa;6.))2(()1)(2(bnbb;7.nkkknab1)()1(;8.nkknkkaxax11)()(;9.nkkx11;10.1n;11.)1)(1(42aaa.四.证明题(略)9第二章矩阵一、单项选择题1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)22AA(b)))((22BABABA(c)ABAABA2)((d)TTTBAAB)(2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=C。(a)AB=BA(b)0A(c)方程组AX=0有非零解(d)B、C可逆3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA()。(a)Ak(b)Ak(c)Akn(d)Akn4.设A为n阶方阵，且0A，则()。(a)A中两行(列)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()。(a)111)(BABA(b)BAABT)((c)BABAT11)((d)111)(BABA6.设A为n阶方阵,*A为A的伴随矩阵,则()。(a)(a)1*AA(b)AA*(c)1*nAA(d)1*nAA7.设A为3阶方阵,行列式1A,*A为A的伴随矩阵,则行列式*12)2(AA()。(a)827(b)278(c)827(d)278108.设A，B为n阶方矩阵,22BA,则下列各式成立的是()。(a)BA(b)BA(c)BA(d)22BA9.设A，B均为n阶方矩阵,则必有()。(a)BABA(b)BAAB(c)BAAB(d)22BA10.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a）TAA22(b)112)2(AA(c)111])[(])[(TTTAA(d)TTTTAA])[(])[(1111.如果333231232221331332123111333231232221131211333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA，则A（）。（a）103010001(b)100010301(c)101010300(d)13001000112.已知113022131A，则（）。（a）AAT(b)*1AA（c）113202311010100001A（d）113202311010100001A13.设ICBA,,,为同阶方阵，I为单位矩阵，若IABC，则（）。（a）IACB（b）ICAB（c）ICBA（d）IBAC14.设A为n阶方阵，且0||A，则（）。（a）A经列初等变换可变为单位阵I（b）由BAAX，可得BX11（c）当)|(IA经有限次初等变换变为)|(BI时，有BA1（d）以上（a）、（b）、（c）都不对15.设A为nm阶矩阵，秩nmrA)(，则（）。（a）A中r阶子式不全为零（b）A中阶数小于r的子式全为零（c）A经行初等变换可化为000rI（d）A为满秩矩阵16.设A为nm矩阵，C为n阶可逆矩阵，ACB，则()。(a)秩(A)秩(B)(b)秩(A)=秩(B)(c)秩(A)秩(B)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定17.A，B为n阶非零矩阵，且0AB，则秩(A)和秩(B)()。(a)有一个等于零(b)都为n(c)都小于n(d)一个小于n，一个等于n18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。(a)nrAr)((b)A的列秩为n(c)A的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个行向量都不成比例(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向量X，均有0AX二、填空题1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且IA2,则行列式A_______2.行列式000cbcaba_______123.设2100020101A，则行列式)9()3(21IAIA的值为_______4.设21232321A，且已知IA6，则行列式11A_______5.设A为5阶方阵，*A是其伴随矩阵，且3A，则*A_______6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵*A的秩为_______7.非零矩阵nnnnnnbababababababababa212221212111的秩为________8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有0AX，则A的秩为_______9.若)(ijaA为15阶矩阵，则AAT的第4行第8列的元素是_______10.若方阵A与I4相似，则A_______11.KKKKKK3111221lim_______12.nn410013102121lim_______三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).131)223221103212102X