高中三角函数难题集

一、选择题（题型注释）1．已知ABC外接圆O的半径为1，且12OAOB．3C，从圆O内随机取一个点M，若点M取自内的概率恰为334，判断ABC的形状．（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题分析：依题意，1coscos2OAOBOAOBAOBAOB，又3C，23AOB，在内易知3AB，在ABC内由余弦定理得22232cos3ACBCACBC，则223ACBCACBCACBC（当且仅当ACBC时，等号成立），又有几何概率可知334ABCS，即334ABCS，1333sin2344ABCSACBCACBC，即3ACBC，此时当且仅当3ACBC，所以ABC为等边三角形.考点：正弦定理和余弦定理、基本不等式、几何概率.2．若PQR的三个顶点坐标分别为)sin,(cosAAP，)sin,(cosBBQ，)sin,(cosCCR，其中CBA,,是ABC的三个内角且满足CBA，则PQR的形状是（）A．锐角或直角三角形B．钝角或直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】解:因为PQR的三个顶点坐标分别为)sin,(cosAAP，)sin,(cosBBQ，)sin,(cosCCR，其中CBA,,是ABC的三个内角且满足CBA，则PQR的形状是则利用余弦定理可知判定为钝角三角形选D3．函数()sin()fxAxb的图像如图，则()fx的解析式与(0)(1)(2)sfff+……(2010)f的值分别为A.1()sin21,20102fxxsB.11()sin1,2011222fxxsC.1()sin1,22fxxs=120102D.1()sin1,22fxxs=2011【答案】B【解析】周期为4,2011除以4得商502余数3.或2010除以4得商502余数2，但应单独记f(0).4．图1是函数sin(0)yxx的图像，A(x,y)是图像上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图像于另一点B（A,B可重合）。设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图像是()【答案】A【解析】sin()yAx(0,0,||)2AMNOMONA62676712【答案】C【解析】易知T，2，(,)12MA，7(,)12NA，712A6．已知函数)(sincos)(Rxxxxf，给出下列四个命题：①若;),()(2121xxxfxf则②)(xf的最小正周期是2；③)(xf在区间]4,4[上是增函数；[来源:学科网]④)(xf的图象关于直线43x对称；⑤当3,6x时，)(xf的值域为.43,43其中正确的命题为（）A．①②④B．③④⑤C．②③D．③④【答案】D【解析】略7．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan≠，排除A、B、D，故选C.8．内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】如图，连，则44,0),1x2,tanx若则)1,31()32,31()21,52()32,52(2121ABC1A1B1CCBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos1111BA12sin()2sin()2222AABCBCAAB2cos().22BC9．设，，，，上述函数中，周期函数的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】是以任何正实数为周期的周期函数；不是周期函数。因为是以为周期的周期函数,是以为周期的周期函数,而与之比不是有理数，故不是周期函数。不是周期函数。因为是以为周期的周期函数,是以为周期的周期函数,而，故是周期函数.不是周期函数.因此共有2个周期函数.选【B】10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形【答案】B【解析】由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。11．已知,为锐角且coscos,,()()()2sinsinxxxRfx111111cos2cos()coscoscoscos()cos()22222222sinsin,cossinsin,cossinsin,cos2222(sinsinsin)coscos2(sinsinsin),22sinsinsinABCAABCACBAACBBCACBBBACCCABAABBBCABCCCABCABC同理原式2..A选2)(1xfxxxf2cossin)(2xxxf2cos2sin)(324sin)(xxf2)(1xf)(2xfxsin21Tx2cos222T1T2T)(2xf)(3xf2sinx221Tx2cos222T221TT)(3xf24sin)(xxfACABsinsinbb4121则下列说法正确的是()A.()fx在定义域上为递增函数B.()fx在定义域上为递减函数C.()fx在,0上为增函数,在(0,)上为减函数D.()fx在,0上为减函数,在(0,)上为增函数【答案】C【解析】coscoscoscos()sin1,122sinsin同理:12．当0,4x时，下面四个函数中最大的是（）A.sin(cos)xB.sin(sin)xC.cos(sin)xD.cos(cos)x【答案】Ｃ【解析】因为0,4x，所以20sincos12xx。于是有cos(sin)cos(cos)xx，sin(sin)sin(cos)xx。又因为sincos2sin()242xxx，即cossin2xx，所以有sin(cos)sin(sin)cos(sin)2xxx。因此，cos(sin)x最大。13．若、均为锐角，且)sin(sin2，则与的大小关系为（）A．B.C.D.不确定【答案】B【解析】)2sin(sin)2cos()2sin(2)sin(sin214．设ABC的内角ABC,,所对的边,,abc成等比数列，则sincotcossincotcosACABCB的取值范围是（）A.(0,)B.51(0,)2C.5151(,)22D.51(,)2【答案】C【解析】设,,abc的公比为q，则2,baqcaq，而sincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBCsin()sin()sinsin()sin()sinACBBbqBCAAa．因此，只需求q的取值范围．因,,abc成等比数列，最大边只能是a或c，因此,,abc要构成三角形的三边，必需且只需abc且bca．即有不等式组22,aaqaqaqaqa即2210,10.qqqq解得1551,225151.22qqq或从而515122q，因此所求的取值范围是5151(,)22．15．在中，分别是角所对边的边长，若则的值是（）A．1B．2C．3D．2【答案】B【解析】0sincos2sincosBBAA，∴∴即∴∴，∴，，故选BABCcba,,CBA,,0sincos2sincosBBAAcba2)sin)(cossin(cosBBAA2sinsincossinsincoscoscosBABABABA2)sin()cos(BABA1)sin(,1)cos(BABA90,BABAba2cba二、填空题（题型注释）16．设集合AR，如果0xR满足：对任意0a，都存在xA,使得00||xxa，那么称0x为集合A的一个聚点，则在下列集合中：（1）zz；（2）RR;(3)1|,*xxnNn;(4)|,*1nxxnNn，以0为聚点的集合有（写出所有你认为正确的结论的序号）．【答案】（2）（3）【解析】试题分析：（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z-的聚点；（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=2a（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=2a＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；（3）集合1|,*xxnNn中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞1a，使0＜|x|=1n＜a，∴0是集合1|,*xxnNn的聚点；（4）集合|,*1nxxnNn中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在a＜12的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合|,*1nxxnNn的聚点．故答案为（2）（3）．考点：新定义问题，集合元素的性质，数列的性质．17．对任意实数,ab，函数1(,)2Fababab．如果函数()sin,()cosfxxgxx，那么对于函数()(),()GxFfxgx．对于下列五种说法：(1)函数()Gx的值域是2,2；(2)当且仅当22+1()2kxkkZ时，()0Gx；(3)当且仅当2()2xkkZ时，该函数取最大值1；(4)函数()Gx图象在9,44上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍；(5)对任意实数x有5544GxGx恒成立．其中正确结论的序号是．【答案】(2)(4)(5)【解析】试题分析：由已知得，1()(),()sin,cossincossincos2GxFfxgxFxxxxxx52cos,2,24432sinx,2,244xxkkxkk.当52,244xkk时，2cos2,2Gxx；当32,244xkk时，2sinx2,2Gx.函数()Gx的值域是2,2，所以(1)错误；(2)当552,22,222,222442xkkkkkk