一元二次方程培优试卷

一元二次方程培优检测卷一、选择题（每题2分，共20分）1．对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为()A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定2．如果一元二次方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的两个根互为相反数，那么有()A．m＝0B．m＝－1C．m＝1D．以上结论都不对3．方程x2＋3x－1＝0的两个根的符号为()A．同号B．异号C．两根都为正D．不能确定4．把边长为1的正方形木板截去四个角，做成正八边形的台面，设台面边长为x，可列出方程()A．（1－x)2＝x2B．14（1－x)2＝x2C．(1－x)2＝2x2D．以上结论都不正确5．已知方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a，则下列代数式的值恒为常数的是()A．bB．aC．a＋bD．a－b6．设a2＋1＝3a，b2＋1＝3b且a≠b，则代数式11ab的值为()A．5B．3C．9D．117．若关于x的一元二次方程2210kxx有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．1kB．1k且0kC．1k且0kD．1k且0k8．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2310xxB．210xC．2210xxD．2230xx9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196D．50+50（1+x）+50（1+2x）=19610．我们知道，一元二次方程21x没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1.若我们规定一个新数“i”,使其满足21i（即方程21x有一个根为i）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有22123242,1,1,11iiiiiiiiii,从而对于任意正整数n,我们可以得到4144nnniiiiii,同理可得421ni,43nii,41ni.那么23420122013iiiiii的值为()A.0B.1C.1D.i二、填空题（每空2分，共20分）11．把方程(x－2)2＝4x＋(2x－1)2化成一元二次方程的一般形式，得_______．12．当k_______时，关于x的方程（k－2）x2＋3x＋1＝0是一元二次方程，13．如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是_______．14．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则11ab的值是_______．15．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是_______．16．已知a，b是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则代数式（a－b）(a＋b－2)＋ab的值为_______．17．若（x2＋y2－1)2＝25，则x2＋y2＝_______．18．有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形（充满）或正三角形（充满），摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，则球的个数为_______．19．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是______．20．设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x11x2，那么a取值范围是_____________．三、解答题（共60分）21．解下列方程：（共12分）(1)3（2x－1)2＝27；(2)2x2－4x＋1＝0；(3)3（x－1)2＝2x－2；(4)x2＋12x＋27＝0．22．（6分）已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＋2＝0．(1)当m取何值时，方程有两个相等的实数根？(2)为m选取一个适当的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．23．（6分）据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约为多少万人次．24．（5分）在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周镶上一条宽度相同的黄色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图的72%，那么黄色纸边的宽是多少？25．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？26．（8分）已知:关于x的一元二次方程2(41)330kxkxk（k是整数）.(1)求证:方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为x1，x2(其中12xx),设y=x2-x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由.27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，B(5，0)，动点P从点B出发沿BO向终点O运动，动点Q从点A出发沿AB向终点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs，则(1)点Q的坐标为(_______，_______)；（用含x的代数式表示）(2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？28．（9分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y=mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.参考答案1—10CBBCDBDACD11．3x2＋4x－3＝012．≠213．c914．－1.215．25%16．－317．618．3619．﹣1或420．－211a021．(1)x1＝2，x2＝－1(2)x1＝222，x2＝222(3)x1＝1，x2＝53(4)x1＝－3，x2＝－922．(1)m＝12(2)x1＝1，x2＝3答案不唯一23．(1)20%(2)8640(万人次)．24．黄色纸边的宽是5cm．25．由题意得出：200×（10－6）＋（10－x－6）（200＋50x）＋[（4－6）（600－200－（200＋50x）]＝1250，即800＋（4－x）（200＋50x）－2（200－50x）＝1250，整理得：x2－2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10－1＝926．（1）证明：△2(41)4(33)kkk2(21)k∵k是整数∴12k即210k∴△2(21)0k∴方程有两个不相等的实数根.（2）解方程得：2(41)(21)2kkxk∴3x或11xk∵k是整数∴11k，1123k又∵12xx∴111xk，23x∴113(1)2ykk∴y是k的函数27．28．（1）分两种情况讨论：①当m=0时，方程为x－2=0，∴x=2方程有实数根②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.则有x1+x2=31mm，x1·x2=22mm由|x1－x2|=21212()4xxxx=2314(22)()mmmm=22(1)mm=1||mm，由|x1－x2|=2得1||mm=2，∴1mm=2或1mm=－2∴m=1或m=13∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=13x2+2x－83即y1=x（x－2）或y2=13（x－2）（x－4）其图象如右图所示.（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.212yxxyxb，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－94；同理2218233yxxyxb，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－2312.观察函数图象可知当b－94或b－2312时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.由2122218233yxxyxx当y1=y2时，有x=2或x=1当x=1时，y=－1所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，综上所述可知：当b－94或b－2312或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.