2010年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文

1数值解法在储油罐变位标定中的应用摘要本文主要采用微元分析法、数值积分法和回归分析法，对储油罐油位测量高度H和燃油体积V建立了模型，即问题一中椭圆型储油罐无变位模型'11HV,椭圆型储油罐纵向变位模型'12HV，问题二中实际储油罐变位模型2HV。对于问题一中的椭圆型储油罐，探究变位对罐容表的影响，先建立无变位时的VH模型。以椭圆型储油罐左底面中心为原点，该面为xoy平面，建立空间直角坐标系。根据简单柱体的体积计算公式，得出无变位初模型。又将由模型得到的体积理论计算值与所给实际体积数据对比，发现两者大致呈线性关系。将两者进行线性拟合以对初模型进行修正，最终得到椭圆型储油罐无变位模型'11VH。当储油罐发生纵向变位后，在上面所建坐标系下，用微元分析的思想，以积分的方法求得假设条件下燃油体积V关于油位测量高度H的解析解。但是由于解的复杂性，很难由直接积分的方法求得给定H的燃油体积。转而利用数值积分的方法，将积分转化为若干微元的和，借助MATLAB即求得燃油体积，这样就得到了纵向变位模型。将依模型所求的理论计算值与处理得到的实际值进行对比分析，两者关系走向基本呈线性，于是对两者进行线性拟合，以缩小误差。最终得到精度较高的修正模型'12VH，以此对储油罐进行重新标定，标定结果参见附录一中的图表一。对于问题二中的实际储油罐，将其分成左球冠、中间圆柱体和右球冠三部分，参照问题一建立的空间直角坐标系，利用微元法，分别建立了各部分燃油体积关于油位测量高度H和参数),(的积分表达式。然后将三部分的燃油体积相加，即得到储油罐内燃油体积关于变量H和参数、的积分形式解析解),,(2HV。由于积分表达式十分复杂，依然利用MATLAB数值积分来处理。对于未知参数、，本文用回归分析法和遍历思想求解。即以较小间隔，从0取到10，让和分别遍历所有的取值点。定义一个函数22(,)((,,())())FVhkVk,其中h为附件2中所给的部分H数据所组成的向量，V表示与h一一对应的进（出）油量，求F的最小值，此时对应的),(便认为是模型中的参数。依据上面方法求得2.1,4.45。再由附件2中的其余数据对模型),,(2HV进行检验和误差分析，得到相对误差集中在2%以内，验证所建模型是合理的。关键词：数值解法遍历理论回归分析微元法2§1问题重述加油站大型储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转，从而导致罐容表不能准确反映储油罐内燃油的体积，因此需要求出纵向倾斜角和横向偏转角度，定期对罐容表进行重新标定。本文主要解决储油罐的变位识别与罐容表的重新标定问题。问题一给出一种几何形状较简单的小椭圆型储油罐，给出了罐体无变位和倾斜角为4.1的纵向变位两种情况下的数据，要求研究罐体变位后对罐容表的影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题二给出两端为球冠的圆柱形储油罐，由于两端球冠部分的体积难以测定而且较为复杂。要求利用罐体变位后在进、出油过程中的实际检测数据，得出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，即式2(,,)VfH。并根据数据算出、。从而建立H与2V的对应关系。§2问题分析储油罐是根据无变位情况下油面高度H与燃油体积V的关系进行标定的，若要实现储油罐的变位识别和罐容表标定，就需要建立燃油体积V与油面高度H的数学模型。问题一：若要探究发生纵向变位对罐容表的影响，应首先建立无变位和发生纵向变位时，罐容表标定值与油面高度H分别满足的关系。由变量H计算发生纵向变位后的实际燃油体积，将其与罐容表的标定值进行比较，分析变位对罐容表的影响。由此，需要分别建立无变位情况下和发生纵向变位情况下，储油罐内燃油体积V与油面测量高度H的模型。利用几何知识和微积分的理论，可以很容易建立无变位情况下的模型。对于发生纵向变位，可以用微元分析法，分情况计算储油罐内的实际燃油体积。得出模型后，对模型计算所得数据与题目所给数据进行比较，分析误差，加以改进。问题二：问题二要求对这种两边是球冠体，中间为柱体的实际储油罐建立燃油体积V与油面测量高度H的数学模型。由于这种储油罐的形状比椭圆型储油罐复杂，而且又发生了、的纵向倾斜和横向偏转，处理起来比较麻烦。可以将这种实际储油罐分为左球冠、中间圆柱体和右球冠三个部分，对油面测量高度为H的情况下，分别计算三个部分内燃油的体积，然后将其求和即为储油罐内燃油体积。可以采用微元法分别建立三部分内燃油体积与油面测量高度H的模型，不过要考虑H取不同范围内的值时，体积求解方法可能不同。如果积分形式过于复杂，可以考虑采用积分的数值算法，用和逼近。考虑到模型建立时，参数和是未知的，可以用回归分析的方法，求得使理论计算值与实际值3之间整体误差最小的和。可以用遍历思想，设定两参数的取值范围，逐一代入模型计算比较。模型确立后，用题目附件二中的其余数据对模型进行检验，分析误差，思考改进方法。§3模型假设1.储油罐的形状为标准几何意义上的几何体。2.假设发生变位时，纵向倾斜角度和横向偏转角度都很比较小，控制在10以内。3.假定燃油是不可压缩的，且体积不受温度和压强等外界物理因素的影响。4.进出油口壁是光滑的，即油位探针与进出油口壁不存在摩擦。5.假设储油罐内部装置体积的体积可以忽略。§4模型的建立与求解§4.1问题一模型的建立与求解符号说明：:()Hmm显示油位高度1:()Lmm小椭圆型储油罐的长度:()amm椭圆的长半轴:()bmm椭圆的短半轴:()hmm横截面内油面的高度2:()Smm横截面中燃油所占的面积311:()Vm椭圆型储油罐没变位的情况下内部燃油的体积）的体积（椭圆型储油罐内部燃油无变位时经模型修正后3'11:mV312:.1()Vm椭圆型储油罐发生纵向变位4之后储油罐内燃油的体积'312:.1()Vm纵向变位4时模型修正后储油罐内燃油的体积§4.1.1无变位时椭圆型储油罐的H-V模型考虑椭圆型储油罐在没有发生变位的情况下，储油罐内燃油的体积和显示的油位高度之间的关系模型。为使计算和表述起来更加方便，我们以椭圆型油罐的左侧底面椭圆中心为坐标轴原点，以椭圆型油罐左侧底面所在平面为xoy平面，建立空间直角坐标系。沿y轴负方向和z轴正方向分别作截面图，如图一、图二。zxo图一椭圆型油罐沿y负方向截面图xy油位高度oba图二椭圆型油罐沿z轴正方向截面图4无变位时，燃油所占储油罐部分是一柱体。根据柱体体积等于底面积与高之积的计算方法，求解高度为H时的燃油体积。为此，先计算燃油高度为H时沿z轴截面的面积S。经过积分化简，得到S的最终表达式(1.1.1)[1]。（详细计算过程参见附录1积分过程）2221hbbxSadxb))arcsin(2sin(22)arcsin(bbhababbbhabS(1.1.1)此时，椭圆型油罐内燃油的体积为1111[arcsin()sin2arcsin()]22hbababhbVSLabLbb(1.1.2)这样就建立了无变位时椭圆型储油罐的11VH模型。根据附件一中《无变位进油》和《无变位出油》两个表格中所给的数据，简单处理后，对11VH模型进行检验。按照11VH模型，利用MATLAB输出对应于输入H的理论计算值（程序见附录2程序1）。将所得的数据与两表格中所给的实际测量值进行对比，如图三：图三：无变位时储油罐内燃油体积理论计算值与实际测量值对比由图可知，依据11VH模型得到的理论计算值存在误差。为提高模型的精确度，缩小误差，下面要对理论计算值与实际测量值进行分析。5图四：无变位时理论计算值与实际测量值关系图由图四发现理论计算值和实际测量值大致呈线性关系。用MATLAB中的polyfit函数对数据进行线性拟合，得到系数0.9663和0.0011，即0011.09663.011'11VV以此对11VH模型进行修正，得到无变位时的'11VH模型'1110.9663[arcsin()sin2arcsin()]0.001122hbababhbVabLbb1.1.3（）§4.1.2发生纵向变位时椭圆型储油罐的H-V模型在椭圆型储油罐发生纵向o1.4变位后，罐容表显示体积与实际体积不符。现建立纵向变位o1.4角时，椭圆型储油罐的12HV模型。采用微积分的方法计算储油罐内燃油的体积。在储油罐上取一小段燃油进行分析，如图五。则有SdzdV，对两边进行积分即可。由(1.1.1)式可计算S。dz①z轴⑤1②③x轴α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05m17cmcm0.4m1.2m图五：小椭圆型油罐形状及尺寸示意图④②601200400tanHz当H处于图五中所表示的不同范围内时，z的积分上下限不同，由此分五种情况对12V的计算进行讨论：Ⅰ：当油面在图五中⑤线和④线之间时，即当02050tanmmHmm时，任意一点z对应的油面高度为h，由几何关系可求得)400(tanzHh，储油罐内燃油的体积为：400tan120arcsin()sin2arcsin()22HhbababhbVabdzbb(1.2.1)将h代入(1.2.1)式即求得此种情形下的体积。Ⅱ：当油面在图五中④线和③线之间，2050tanmm1200400tanHmm，)400(tanzHh，储油罐内燃油的体积为2450120arcsin()sin2arcsin()22hbababhbVabdzbb(1.2.2)Ⅲ：当油面在图五中③线和②线之间，即1200400tanmm1200Hmm时，为简便起见，先求储油罐内空气体积，再用储油罐的总体积减去空气体积，即得储油罐内燃油的体积。取中间任意一点做垂直于z轴的截面，可得到空气部分的高度Hzh1200tan400tan'，积分下限为燃油的体积为24501200121400tan[arcsin()sin2arcsin()]22HhbababhbVabLabdzbb(1.2.3)Ⅳ：当油面在图五中②线和①线之间，即1200Hmm时，此时储油罐内燃油的体积介于第Ⅲ种情况下储油罐内燃油体积的上限和整个储油罐总体积之间，即1214012.74LVabLⅤ：当油面在图五中⑤线以下，即0Hmm时，由于显示油面高度为0，所以只能得到此时储油罐内燃油体积的上限，此上限可在第Ⅰ种情况中得到。得1201.6749LV上述五种情况的公式在求解的过程中，发现无法通过积分得到准确的解析解，因此转用MATLAB求数值解（详细的MATLAB程序参见附录2程序二），输入变量为显示油面的高度()H，输出的为椭圆型油罐内实际的燃油的体积12()V。§4.1.3罐体变位后对罐容表的影响根据附件一中《倾斜变位进油》和《倾斜变位出油》两个表格中所给的数据，利用4.1.2建立的12HV模型，计算出理论上储油罐内燃油的体积，和附件一中所给的实际测量值作对比，如图六7图六：储油罐倾斜时理论计算值与实际测量值对比由图六知，理论计算值和实际测量值之间存在较大的误差，由MATLAB计算出理论计算值相对于实际测量值最大的相对误差为4.57%，且两者之间呈线性关系，如图七图七：倾斜时理论计算值与实际测量值关系图为使12HV模型更加精确，用MATLAB中的polyfit函数对数据进行拟合，得相应的两个系数为0.9991和75.2645。以此对12HV模型进行修正，得到有变位时的'12HV模型：'12120.999175.2645VV利用'11HV模型和'12HV模型，分别得到储油罐显示体积数与实际体积数的曲线对比，如图八。8图八变位后储油罐显示体积与实际体积对比由图八可知，变位后罐容表示数明显偏大。对显示体积数和实际体积数分析，得到两者之间相对误差最大为23.43%。根据'12HV模型，对储油罐罐容表进行重新