特征函数和矩母函数

一、矩母函数矩母函数和特征函数1．定义称的数学期望为随机变量X的矩母函数。2．原点矩的求法tXe][)(tXeEt利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对逐次求导，并计算在点的值：)(t0t][)(tXXeEt][)()tXnneXEt（][)0()nnXE（3．和的矩母函数定理1设相互独立的随机变量的矩母函数分别为，，…，，则其和的矩母函数为rXXX，，，21)(1t)(2t)(trrXXXY21)(tY)(1t)(2t)(tr…4.母函数定义：设X是非负整数值随机变量，分布律P{X=k}=pk，k=0,1,则称为X的母函数。0)()(kkkXspsEsP性质：(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定(2)设P(s)是X的母函数，若EX存在，则EX=P(1)若DX存在，则DX=P(1)+P(1)-[P(1)]2,2,1,0,!)0()(kkPpkk(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非负整数值随机变量，则的母函数H(s)=G(P(s)),EY=ENEX1其中G(s),P(s)分别是N,X1的母函数。NkkXY1证明：(1)，，故则令1,0!)0(!)0(,0)1()1(!)(,1,0,)()()(1)(100nnPppnPsspnkkkpnsPnspspspsPnnnnnknkknnnkkknkkkkkk2222211212211110)]1([)1()1()()1()()1()1()1()1()()1()()(,)(PPPEXEXPEXEXDXEXEXkppkpkkpkkPspkksPPkpXEskpsPspsPkkkkkkkkkkkkkkkkkkk(2)设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1,，则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中ck=p0qk+p1qk-1++pkq0设X,Y,Z的母函数分别为PX(s),PY(s),PZ(s)，即有000)()(,)(kkkZkkkYkkkXscsPsqsPspsP(3))()()(0000,00sPscsqpsqpsqspsPsPZrrrrrrkkrklklklklllkkkYX(4)000000000}{}{}{}{},{}{,}{)(kklklkklkkklkkskYPlNPslNPkYPslNkYPslNkYPskYPsH001001010{}{}{}{}(){}[()](())lkjlkjlkjlkjlljllPNlPXksPNlPXksPNlPsPNlPsGPs)1)1(()1()1()1())1(())(()1(111PEXENPGPPGdsdPdPdGdssPdGHEYss注欧拉公式：二、特征函数1.特征函数设X为随机变量，称复随机变量的数学期望itXe)(tX][itXeE为X的特征函数，其中t是实数。还可写成)(tX][sin][costXiEtXEcossiniei()()XXtit分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量X，特征函数为概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为()()ditxtefxx1()kitxkktep对于n维随机向量X=(X1,X2,,Xn)，特征函数为121()(,,,)expnitXnkkkttttEeEitX性质：(1)。(2)在（-，）上一致连续。(3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则,kn当k=1时，EX=；当k=2时，DX=。(0)1,()1,()()ttt()t()(0)kkkiEX(1)(0)/i(2)(1)2(0)((0)/)i(4)是非负定函数。(5)若X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2++Xn的特征函数为(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定。()t12()()()()ntttt如果随机变量X为连续型，且其特征函数绝对可积，则有反演公式：1()()2itxfxetdt()()itxtefxdx（相差一个负号的傅立叶逆变换）（相差一个负号的傅立叶变换）例1设随机变量X服从参数为的泊松分布，求X的特征函数。解由于所以ekkXPk！）（)(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee麦克劳林公式例2设随机变量X服从[a，b]上的均匀分布，求X的特征函数。解X的概率密度为所以其它01)(bxaabxfdxabetbaitxX1)()(abiteeitaitb例3：设X服从二项分布B(n,p)，求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX。knkknqpC00()nnknitkkknkkitnkitnnkkgteCpqCpeqpeq解:X的分布律为P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,,n0(0)nittdEXigipeqnpdt22DXEXEXnpq22222202(0)nittdEXigipeqnpqnpdt例4：设X~N(0,1)，求X的特征函数。解:221()2xitxgteedx22221()22xxitxitxigtixeedxede21g'()()0,,ln()2dgttgttdtgttCg2222(),22xxitxitxiteeedxtgt221122(),(0)1,0()tCtgtegCgte由得，从而例5：设随机变量X的特征函数为gX(t)，Y=aX+b，其中a,b为任意实数，证明Y的特征函数gY(t)为。证：)()(atgetgXitbY()()itaXbYgtEe()()iatXitbitbiatXEeeeEe()itbXegat例6：设随机变量Y~N(,2)，求Y的特征函数为gY(t)。22)(tXetg()()itYXgtegt解：X~N(0,1)，X的特征函数为设Y=X+，则Y~N(,2)，Y的特征函数为222222ttititeee三、常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数分布期望方差特征函数母函数0-1分布ppqq+ps二项分布npnpq(q+ps)n泊松分布几何分布p12pqitpeqnitpeq)1(iteeititqepe1qsps1)1(se分布期望方差特征函数矩母函数均匀分布指数分布),(2N2ba122abtabieeiatibt)(22221ttie121ttabeeatbt)(2221tteit