工程力学ppt

1第8章扭转2§8-1扭转的概念及实例变形特点：Ⅰ.杆表面的纵向线变成螺旋线；Ⅱ.相邻横截面绕杆的轴线有相对转动；Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。MeMe3Meme（c）（a）MeMeMemeMe雨篷板雨篷梁（d）MeFF（b）Me实例：4剪切角：螺旋线的切线与原纵向线的夹角γ称为剪切角。MeADBCMejgl相对扭转角：截面B相对于截面A转动的角度，称为相对扭转角。j5本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。着重讨论等直圆杆受扭时的强度和刚度的计算。6§8-2扭矩的计算和扭矩图Ⅰ.传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。7因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为3radkweNms3eNmradsr3mineNm{}{}{}10{}{}{}10{}{}2π1060PMtMnMa因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：8主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。395510955PMNmnPMkNmn.().()ee9Ⅱ.扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。TMeMeTT=MeMeMe1110扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量（大拇指）背离截面为正，指向截面为负。T(+)T(-)11例题8-1一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。minr300n12解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9.15mkN)30050055.9(1MmkN78.4mkN)30015055.9(32MMmkN37.6mNk)30020055.9(4M132.计算各段的扭矩BC段内：mkN78.421MTAD段内：mkN37.643MTCA段内：2239.56kNmTMMBT2C22xM2M3143.作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。15思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？1615.94.786.374.7817用简便法求扭矩：任一横截面上的扭矩等于该截面一侧上所有外力对轴之矩的代数和。背离该截面的外力矩矢取+号，指向该截面的外力矩矢取-号。习题8-118§8-3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒100r当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩eMTmmTMelMemmMer0O19Ⅰ.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADBCMejg20横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。Memmxr0tdA21Ⅱ.薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：TrAAdt由根据应力分布可知t02AT引进，上式亦可写作200πrAt20000π2)π2(drTrrTArTAATArd0t，于是有Memmxr0tdA22以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体——单元体。1.单元体·切应力互等定理§8-4切应力互等定理和剪切胡克定律lMemmMe23可得：tt由单元体的平衡条件∑Fx=0知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力t'dxdz并组成其矩为t'dxdz)dy力偶。yzxxzyMzdddddd0tt由24即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t和t数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线——切应力互等定理。25薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T)与相对扭转角j成线性正比例关系，从而可知t与g亦成线性正比关系：gtG这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量。2.剪切胡克定律26§8-5圆截面杆扭转时横截面上的应力横截面上的应力公式推导：表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)27（1）表面变形情况：(a)相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b)纵向线倾斜了一个角度g。平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。1、几何方面28（2）横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：xEGGGρρddtanjgg即xρddjgbbTTO1O2djGG'DD'aadxAEggEAO1DdjD'G'GO2d/2dxgg29xρddjg式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用来表示，对于给定的横截面为常量。xddj可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的切应变g均相同；g与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2djGG'DD'aadxAEgg30xGGddjgt2、物理方面由剪切胡克定律tGg知可见，在横截面的同一半径的圆周上各点处的切应力t均相同，其值与成正比，其方向垂直于半径。31ppITGITGρt3、静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。AAd2dTAAt从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式pddGITxjAAId2p以代入上式得：2dddAGATxj即32pppmaxWTrITITrtpITtTmaxtmaxtd式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。横截面周边上各点处r)的最大切应力为TmaxtmaxtdD33实心圆截面：32πdπ24203dd圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp：16π2/3ppddIWAAId2p4pπ32dI3pπ16dW34空心圆截面：232p24444d2πdππ13232DdAIADDddDaa其中4344pp116π16π2/aDDdDDIW44pπ132DIa34pπ116DWa35现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef(如图)上的应力。§8-6斜截面上的应力36分离体上作用力的平衡方程为0sinsindcoscosdd,00cossindsincosdd,0aataattaataataaAAAFAAAF利用tt'，经整理得attataa2cos,2sin37由此可知：(1)单元体的四个侧面(a=0°和a=90°)上切应力的绝对值最大；(2)a=-45°和a=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大。ttmin45max45，如图所示。attataa2cos,2sin38至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。39低碳钢扭转破坏断口40铸铁扭转破坏断口41思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？42§8-7圆轴扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。MeADBCMejg43当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有pGITlj由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为pddTxGIjllxGIT0pddjj441.强度条件][maxtt此处[t]为材料的许用切应力pmaxmax[]TWtt§8-8扭转的强度和刚度条件对于等直圆轴亦即452.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[θ]的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[θ]≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[θ]≈2(°)/m。max[]TGImax[]p180π463.解决问题（1）校核圆杆的强度、刚度（2）选截面（3）选荷载47例题8−3一电机的传动轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400r/min。材料的许用切应力[τ]=40MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角[θ]=1º/m。试校核此轴的强度和刚度。解：（1）计算传动轴的扭矩e3095509550204Nm1400PTMn（3）刚度校核6maxmax3316204τ1621016.2MPa/163.140.04PTT.PaWdt（2）强度校核max4104218032180322041800.588100.043.14pTTmGIGd此轴分别满足强度条件和刚度条件48例题8−4图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知；Me1=1.5kN·m，Me2=3kN·m，Me3=9kN·m，Me4=4.5kN·m；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力[τ]=80MPa，单位长度许可扭转角[]=0.005rad/m。（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角。DCBAMe2Me1Me3Me4（a）0.8m1.0m1.2m49（b）4.51.54.5++DCBAMe2Me1Me3Me4（a）0.8m1.0m1.2m解：（1）画轴的扭矩图，如图b所示。（2）设计轴的直径根据式强度条件：][16/3maxPmaxmaxτDTWTτ可以得到轴的直径为333max616T164.510D0.06666[τ]3.148010mmm50根据刚度条件：θDGTGITθ32/4maxpmax可以得到轴的直径为443max932T324.510D0.103103G[θ3.1480100.005mmm]根据上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴的直径应选用D=103mm。51（3）全轴的相对扭转角AD的计算若选用轴的直径D0=105mm，其极惯性矩为4844010119032105.032ImDp全轴的相对扭转角为：CDBCABADjjjjrad1078.310119010808.0105.43893PGIlTABABABφ其中rad1073.410119010801105.43893PGIlTBCBCBCφrad1089.110119010802.1105.13893PGIlTCDCDCDφ即radAD333331084.21089.11073.4