三角形三心的奥秘

三角形三心的奥祕内心外心重心3/17/20191商人想设一座加油站，距离附近的学校、游乐园、医院都一样近，请问聪明的商人，应该将加油站设在哪里呢?○学校○游乐园○医院解答:设在外心处加油站3/17/20191外心1.外心的定义:ABCABCABC(绿)，(蓝)，(红)，三边中垂线交点即为“外心”。o三角形三边中垂线的交点称为外心，常用字母O表示。中垂線BC中垂線AC中垂線AB(绿)，中垂線AB3/17/201912.外心的位置ABCABCABCABCABCABC锐角三角形(在内部)钝角三角形(在外部)直角三角形(在斜边中点)(1)依三角形角度类型的区别而有不同的位置。ABCABCABCABC3/17/20191◎锐角△ABE的外心(圆O)在三角形的内部。◎直角△ABD的外心(圆O)在三角形的斜边中点。◎钝角△ABC的外心(圆O)在三角形的外部。(2)呈现在同一个圆中3/17/20191(1)外心到三顶点等距离。(2)若以外心为圆心，外心到三顶点的距离为半径，可以画出一个外接圆。(3)称此点为“外心”，是因此点可画出三角形的外接圆。(4)任意三角形皆可找到其外心与外接圆，且为唯一。(5)三角形ABC称为圆O的圆内接三角形。3.三角形的外心与外接圆如图(1)线段OA=线段OB=线段OC(2)圆O为△ABC的外接圆(3)O点为锐角△ABC的外心；△ABC为圆O的圆内接三角形ABCOOO3/17/20191中垂线性质:(1)中垂线上任一点到此线段的两端点等距离。(2)若有一点到某线段两端点的距离相等，则此点会在该线段的中垂线上。(可用中垂线性质证明)4.外心重要性质:外心到三顶点等距离。PBPAP为中垂线上任一点3/17/201915.三角形的外接圆与外心角度ABCOABCOD(1)若∠A为锐角，∠BOC＝2∠A(2)若∠A为钝角，∠BOC＝360°－2∠AO3/17/20191(1)三角形三边中垂线的交点称为外心(O)。(2)外心到三顶点等距。(以外心为圆心，可画出该三角形的外接圆)(3)直角三角形的外心在斜边中点上，直角三角形的外接圆半径R=1/2斜边长(4)直角三角形中，若有一锐角是30，则它所对的边是斜边之半。6.外心常考重点:3/17/20191按我(用GGB找外心)7.动手摺纸找外心步骤1:摺出线段AB的中垂线。作法:将B点翻摺至A点，压平后再展开，产生摺痕如图示。3/17/20191步骤2:摺出线段BC的中垂线。作法:将B点翻摺至C点，压平后再展开，产生摺痕如图示。3/17/20191步骤3:摺出线段CA的中垂线。作法:将C点翻摺至A点，压平后再展开，产生摺痕如图示。三条中垂线的交点即外心O3/17/20191步骤4:比较OA，OB，OC三线段长度是否真的相同。3/17/20191三角形三个内角角平分线的交点称为三角形的内心，常用字母I表示。ABCABCABC1.内心的定义:内心三内角平分线交点即为“内心”。I3/17/201912.内心的位置:任意三角形的内心均在三角形的内部。ABCABC锐角三角形内心ABCB直角三角形内心ABCABCABC钝角三角形内心3/17/20191(1)内心到三边等距离。(2)若以内心为圆心，内心到三边的距离为半径，可以画出一个内切圆。(3)称为“内心”，是因此点可画出三角形的内切圆。(4)任意一个三角形，均可找到其内心及内切圆，且为唯一。3.三角形的内心与内切圆:IRIQIPIRIQIP3/17/20191(可用角平分线性质证明)4.内心重要性质:内心到三边等距离。角平分线性质:(1)角平分在线的任一点到此角的两边等距离。(2)若有一点到某角的两边等距离，则此点会在该角的角平分在线。PCPB3/17/201916.内心常考重点:(1)三角形三内角平分线的交点称为内心(I)。(2)内心到三角形的三边等距。(3)△ABC面积＝1/2×△ABC周长×内切圆半径即A=1/2ιr(设ι为△ABC周长，r为内切圆半径)(4)直角三角形的内切圆半径r=1/2(两股和－斜边)。(5)ABIC21903/17/20191按我(用GGB找内心)7.动手摺纸找内心步骤1:摺出角A的角平分线。(将AC边摺叠到与AB边重合)步骤2:摺出角B的角平分线。(将BC边摺叠到与BA边重合)最后摊开如图示3/17/20191步骤3:摺出角C的角平分线。(将CB边摺叠到与CA边重合)摊开，并将三条角平分线的交点命名为I点3/17/20191步骤4:从I点做出与三边垂直的虚线，比较这三条虚线是否真的等长。3/17/20191小灰鼠买了一块奶酪，想分享给弟弟(小蓝鼠)，妹妹(小黄鼠)一起吃，牠该如何切割这块奶酪，使得大家所分配到的大小都一样呢?解答:沿着三中线切割成6块，每人拿2块。3/17/20191重心三角形三条中线的交点称为重心，常用字母G表示。1.重心的定义:2.重心的位置:任何三角形的重心均在三角形的内部。锐角三角形ABCABCBC直角三角形ABCABCABC钝角三角形ABCABCABC3/17/20191(1)无法由“重心”画出圆，与外心可画出外接圆，内心可画出内切圆不同。(2)称为“重心”，是因为该点为此三角形的质量中心，若用手指顶在重心位置，三角形会保持平衡，不会倾斜。(3)重心到顶点的距离为重心到对边中点的两倍。3.重心重要特性:)D3(31D(4))23(32)3(2)2(1:2:)1(GADADGAGADADAGGDAGGDAG即即3/17/20191按我(用GGB找重心)步骤1:摺出BC边的中线(顶点A与BC边中点的连线)。4.动手摺纸找重心3/17/20191步骤2:摺出AC边的中线。(顶点B与AC边中点的连线)三中线交点即为重心G步骤3:摺出AB边的中线(顶点C与AB边中点的连线)3/17/20191ABCGDEF三中线将原△分割成6块等面积△△GAF面积＝△GAE面积＝△GBF面积＝△GBD面积＝△GCD面积＝△GCE面积。重心与三顶点的连线，将原△分割成3块等面积△△GAB面积＝△GBC面积＝△GAC面积ABCG重心的三块积重心的六块积3/17/201915.重心常考重点:(1)三角形三中线的交点称为重心(G)。(2)重心到一顶点的距离，等于重心到其对边中点之距离的两倍。(3)重心与三顶点的连线，把原三角形的面积三等分。(4)三中线会将原三角形的面积六等分。3/17/20191直角三角形的外心在斜边的中点，且特殊三角形的三心AC61)21(3131(2)OC)1(ACOBOGOBOA3/17/20191等腰三角形的外心、内心、重心都在同一条直线（底边的中垂线）上。3/17/20191正三角形的外心、内心、重心是同一点，且其外接圆半径是内切圆半径的2倍。)2(2)3(63233131GM)2(33233232GA(1)倍半徑的外接圓半徑等於內切圓內切圓半徑外接圓半徑若正三角形的邊長為GMGAaaAMaaAMa