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周期性类型一:判断周期函数1.求下列函数是否为周期函数(1),满足(2),满足(3),满足(4),满足答案:(1)令∴∴∴T=2周期函数(2)∴T=4周期函数(3)∴T=4(4)∴T=8类型二:求值1.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时f(x)=log2(x+1),则f(-2013)+f(2014)的值为()A.-1B.-2C.2D.1解析:选A因为f(x)是奇函数,且周期为2,所以f(-2013)+f(2014)=-f(2013)+f(2014)=-f(1)+f(0).又当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),所以f(-2013)+f(2014)=-1+0=-1.2.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________.(对定义域的运用)解析:∵y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0.∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.答案:-13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3x-1,x≤0,fx-1-fx-2,x0,则f(2016)=________.解析:x0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),相加得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),进而f(2016)=f(336×6)=f(0)=3-1=13.答案:134.已知函数f(x)的定义域为R,当x0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x12时,fx+12=fx-12,则f(6)=______.(转化)答案2解析当x12时,fx+12=fx-12,即f(x)=f(x+1),∴T=1,∴f(6)=f(1).当x0时,f(x)=x3-1,且-1≤x≤1,f(-x)=-f(x),∴f(6)=f(1)=-f(-1)=2.5.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+15,则f(log220)=________.(利用周期和奇函数改变范围)押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型,较好地考查学生思维的灵活性.答案-1解析由f(x-2)=f(x+2)⇒f(x)=f(x+4),因为4log2205,所以0log220-41,-14-log2200.又因为f(-x)=-f(x),所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-flog245=-1.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=()(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5解:∵y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x),∴直线x=1是y=f(x)对称轴,故y=f(x)是周期为4的周期函数。∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5故选(B)7.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=ax+1,-1≤x<0,bx+2x+1,0≤x≤1,其中a,b∈R.若f(12)=f(32),则a+3b的值为________.解:由题意知f(12)=b+43,f(32)=f(-12)=-12a+1,从而b+43=-12a+1,化简得3a+2b=-2.又f(-1)=f(1),所以-a+1=b+22,所以b=-2a,3a+2b=-2,解得a=2,b=-4.所以a+3b=-10.类型三:求周期1.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]的最小正周期是________.(绘画此类函数图像)解析:如图,当x∈[0,1)时,画出函数图像,再左右扩展知f(x)为周期函数.答案:1类型四:周期+奇偶性1.若函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在[-1,3]上的解集为()(数形结合,类似于正余弦函数图像)A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)解析:选C.f(x)的图象如图.当x∈[-1,0)时,由xf(x)0,得x∈(-1,0);当x∈[0,1)时,由xf(x)0,得x∈∅;当x∈[1,3]时,由xf(x)0,得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.解析:因为f(x)为奇函数并且f(x-4)=-f(x).(对称轴)所以f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(4-x)=f(x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于x=2对称,并且是周期为8的周期函数.因为f(x)在[0,2]上是增函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数,在[2,6]上为减函数,据此可画出y=f(x)的图象.其图象也关于x=-6对称,所以x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-8.类型五:综合1.偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且在x∈[0,1]时,f(x)=2x-x2,若直线kx-y+k=0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点,则k的取值范围是__________.答案(1515,33)解析因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是偶函数,所以f(x-1)=f(1+x),即有f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数.由y=2x-x2,得x2-2x+y2=0,即(x-1)2+y2=1,画出函数f(x)和直线y=k(x+1)的图象.因为直线kx-y+k=0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点,所以根据函数图象易知,1515k33.2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.答案7解析因为当0≤x2时,f(x)=x3-x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,所以f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以f(3)=f(5)=0.故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.3.已知f(x)是R上最小正周期为4的奇函数,且当0≤x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[2,4]的解析式为________.
本文标题:函数周期性的五类经典题型
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