函数周期性的五类经典题型

周期性类型一：判断周期函数1.求下列函数是否为周期函数（1），满足（2），满足（3），满足（4），满足答案：（1）令∴∴∴T=2周期函数（2）∴T=4周期函数（3）∴T=4（4）∴T=8类型二：求值1.已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2013)＋f(2014)的值为()A．－1B．－2C．2D．1解析：选A因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2013)＋f(2014)＝－f(2013)＋f(2014)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2013)＋f(2014)＝－1＋0＝－1.2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．（对定义域的运用）解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：－13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3x－1，x≤0，fx－1－fx－2，x0，则f(2016)＝________.解析：x0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，进而f(2016)＝f(336×6)＝f(0)＝3－1＝13.答案：134.已知函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x12时，fx＋12＝fx－12，则f(6)＝______.（转化）答案2解析当x12时，fx＋12＝fx－12，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x0时，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.5.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log220)＝________.（利用周期和奇函数改变范围）押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性.答案－1解析由f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，因为4log2205，所以0log220－41，－14－log2200.又因为f(－x)＝－f(x)，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－flog245＝－1.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为4的周期函数。∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)7.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f(12)＝f(32)，则a＋3b的值为________．解：由题意知f(12)＝b＋43，f(32)＝f(－12)＝－12a＋1，从而b＋43＝－12a＋1，化简得3a＋2b＝－2.又f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝b＋22，所以b＝－2a，3a＋2b＝－2，解得a＝2，b＝－4.所以a＋3b＝－10.类型三：求周期1.x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]的最小正周期是________．（绘画此类函数图像）解析：如图，当x∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f(x)为周期函数．答案：1类型四：周期+奇偶性1.若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)0在[－1，3]上的解集为()（数形结合，类似于正余弦函数图像）A．(1，3)B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3)D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f(x)的图象如图．当x∈[－1，0)时，由xf(x)0，得x∈(－1，0)；当x∈[0，1)时，由xf(x)0，得x∈∅；当x∈[1，3]时，由xf(x)0，得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．（对称轴）所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．因为f(x)在[0，2]上是增函数，所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象．其图象也关于x＝－6对称，所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.类型五：综合1.偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝2x－x2，若直线kx－y＋k＝0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是__________.答案(1515，33)解析因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1＋x)，即有f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数.由y＝2x－x2，得x2－2x＋y2＝0，即(x－1)2＋y2＝1，画出函数f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象.因为直线kx－y＋k＝0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据函数图象易知，1515k33.2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.3.已知f(x)是R上最小正周期为4的奇函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[2,4]的解析式为________．