2018年10月27日启航杯数学试卷

第1页共4页数学试卷满分:100分时量:70分钟一、填空题：（每小题4分，本题满分32分）1．关于x的一元二次方程kx2＋4x＋1＝0有两个实根，则k的取值范围是______________________.2.计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝3.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边长．如果∠A＝105º，∠B＝45º，b＝22，那么c＝_______________．4．已知直线l经过(2，0)和(0，4)，把直线l沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线l´，则直线l´的解析式为________________．5．用f(n)表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积,例如:f(5)=5;f(10)=1；f(29)=18;f(207)=14.则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(99)+f(100)=．6．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC的中点，连结FE并延长到点G，使GE＝FE．如果△ABC的面积为20cm2，那么四边形ADEG的面积为______cm2．7．边数均为偶数的两正多边形的内角和为了1800º．两个正多边形的边数分别为________________8．在一次朋友家聚会上，每两个人都互相握了一次手，总共握了55次手，，则参加聚会的人数是_____________．二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）9.已知⊙O1半径为3cm，⊙O2的半径为7cm,若⊙O1和⊙O2的公共点不超过1个,则两圆的圆心距不可能为………………………()A．0cm；B．4cm；C．8cm；D．12cm10.在平面直角坐标系内，点P（x－2，2x－1）在第二象限，则x的取值范围是（）（A）x＜2（B）x＜21（C）21≤x≤2（D）21＜x＜211．下列命题：①任意两个等腰三角形一定相似；②任意两个等边三角形一定相似；③任意两个矩形一定相似；④任意两个菱形一定相似；⑤任意两个正方形一定相似；⑥任意两个边数相等的正多边形一定相似，其中真命题的个数是（）（A）2（B）3（C）4（D）512．如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形做无滑动滚转，直至回到出发位置时，该圆自转了（）（A）2圈（B）3圈（C）4圈（D）5圈13．方程xxx222的正实数根个数为（）A、0B、1C、2D、314．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是……………()A．（12，0）；B．（1，0）；C．（2，0）；D．（3，0）ABCDEFG姓名：____________性别原初中毕业学校：_____________________联系电话：________________—⊙—⊙—⊙—⊙—密—⊙—封—⊙—线—⊙—内—⊙—不—⊙—准—⊙—答—⊙—题—⊙—⊙—⊙—⊙—⊙—⊙—⊙_第2页共4页15．下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色.若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是-------（）16．如图(标注为第20题)，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，CF＝1，P是对角线AC上的个动点，则PE＋PF的最小值是（）（A）89（B）73（C）28（D）54三．解答题：（每题12分，满分36分）17．已知正实数a、b、c满足方程组a＋b2＋2ac＝29b＋c2＋2ab＝18c＋a2＋2bc＝25求a＋b＋c的值黄红黄红绿绿黄红绿红绿黄绿红红绿黄黄绿红黄红黄绿A．B．C．D．第3页共4页18．阅读、理解、应用0~360间的角的三角函数在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=斜边的对边A，cosA=斜边的邻边A，tanA=的邻边的对边AA，cotA=的对边的邻边AA为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边OQ上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，终边OQ可以看作是将射线ox绕点O逆时针旋转α°后所得到的。P和原点O（0，0）的距离为22yxr（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα=ry，cosα=rx，tanα=xy，cotα=yx(其中x,y分别是点P的横、纵坐标)我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，四个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点P在角α的终边位置无关.比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，每题3分，共12分1）如图3，若270α360，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是2）若角α的终边与直线y=2x重合，则sinα+cosα=3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，5），且cosα=x42，则tanα=4）若0≤α≤90，则sinα+cosα的取值范围是图1BCAOorxyP(x、y)α图2始边终边QrxyP(x、y)α图3始边终边第4页共4页19．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．第19题图