抛物线“焦点弦的性质”及解题策略

抛物线“焦点弦的性质”及解题策略方程图形范围对称轴顶点离心率)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyxx轴x轴y轴y轴0x0x0y0y(0,0)1elFyxOlFyxOlFyxOlFyxO一.四种抛物线的标准方程的几何性质的对比在近几年高考中关于抛物线过焦点弦的问题出现在：1）2000年理科的第11题（选择题），2）2001年理科的第19题（解答题），3）2002年文科的第16题（填空题），4）2004年理科的第16题（填空题）,5）2005~2007年有很多省市都有关于抛物线焦点弦的试题出现。考点回放例1．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．经典例习题做一做OBFAxy(1,0)F由题意,抛物线的焦点思路1：214yxyx由AB由弦长公式1122,,),(,).ABxyxy设坐标分别为(2610xx121261xxxx21kA236482121kxx例1．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．经典例习题做一做OBFAxy1122,,),(,).ABxyxy设坐标分别为(126xx11121,1AFAAxBFBBx抛物线定义可知：ABAFBF221,6104yxxxyx由A1B111AABB122xx8思路2:引伸1:对于y2=2px(p0),过焦点F的弦为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则：问题提出1(1)2pAFx12(3)ABxxp(4)______.ABxAB轴时，2(2)2pBFx(4)2()ABxABp抛物线轴径时，的通OFxylB(x2,y2)A(x1,y1)说明：抛物线的是抛物线的焦点弦中通径最短的一条。12(2)______.yy引伸2:对于y2=2px(p0),过焦点F的弦为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则：问题提出212(1)4pxx212(2)yypOFxylB(x2,y2)A(x1,y1)2007年宁夏、海南高考题在抛物线的题型中，凡涉及到焦点和准线均要用定义进行转化，且转化过程相对于椭圆、双曲线的定义转化要简捷得多，因此，在解题中一定要加强定义的应用意识.双基题目练练手211122233321322212312322132131.2(0)()()()2()..2ypxpFPxyPxyPxyxxxAFPFPFPFPFPFPCFPFPFPFPFPFP已知抛物线的焦点为，点，，，，，在抛物线上，且，则有B.D.·C2.抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标为()17.16A15.16B7.8C.0DB双基题目练练手2005年江苏高考题MOyxF214xy116y3.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1),则|MP|+|MF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)6双基题目练练手BNMPxyO(1,0)F4．已知M为抛物线y2=4(x1)上一动点，M到定点P(0,1)的距离与M到y轴的距离之和的最小值是______.双基题目练练手52004年高考题(全国Ⅳ)xyoPMA(1,0)F(2,0)(0,1)P重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线的距离的相互转化.A.4B.33C.43D.85．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl垂足为K，则AKF的面积是()3OlKFAxyC双基题目练练手2007年高考题(全国Ⅰ)(3,23)6.以抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l位置关系为()A.相交B.相离C.相切D.不确定7.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为()A.相交B.相离C.相切D.不确定CxOyFPC双基题目练练手ABFxOy1122(,),(),(,)AxyBxyABMxy设中点2MNADBC,ADAFBCBF12()4AFBFy,2ABFAFBFAB中132()244yy12()4ADBCy双基题目练练手28.yxABAB已知抛物线,动弦的长为则动弦的中点纵坐标的最小值为_____.34|21()AB|通径ABMDCNOyx1985年高考题分析：||2AB，||(0)ABaa，?F1,24pMNyyBA设AB为抛物线y2=2px的焦点弦，点A、B在抛物线的准线上的射影分别为C、D，O为原点，观察点A、O、D和点B、O、C，它们的位置关系如何？能证明你的结论吗？问题讨论xOyFABCD经典例习题做一做221212(,),(,)22yyPyQypp设12POpky则12pPOyxy直线：21(,)2ppMy212yyp2(,)2pMy例2.过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，通过点P和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴．OQMFPxy分析：MQyy思路证明：即可1122(,),(,)PxyQxy设变式(2001年全国卷)：设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．OBCFAxy经典例习题做一做COOA思路1：证明COOAKK明思证路2：.AC证明直线的方程不含思3：常数项路1(1)2pAFx212(5)4pxx212(6)yyp12(3)ABxxp2(2)2pBFx(4)2()ABxABp抛物线轴径时，的通A1OFxylB(x2,y2)A(x1,y1)1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则：提炼总结以为师(7)以AB为直径的圆与准线l相切.以焦半径|PF|为直径的圆与y轴相切.2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2),①过P和抛物线顶点的直线交准线于M,求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴.②过Q作QM⊥准线l,垂足为M,试证:M、O、P三点共线.(2001年全国卷)xOyPQM提炼总结以为师证明：因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为(,0)2pF2220ypmyp所以经过点F的直线AB的方程可设为2pxmy222ypxpxmy1122(,),(,)AxyBxy设212yyp22ykp2px上因为BC∥x轴，且点C在准线2(,)2pCy故直线CO的斜率为即k也是直线AO的斜率，所以直线AC经过原点O．经典例习题做一做12py11yxAOkOBCFAxy