复数代数形式的乘除运算(公开课)

3.2.2复数代数形式的乘除运算普通高中课程标准实验教科书-人教版A版-选修2—2授课人：陈小燕授课班级：高二（13）班温故夯基已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i（2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i探究1：探求新知设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd思考：复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，z1·z2等于什么？探求新知1.复数的乘法法则：2acadibcibdi)()（acbdbcadi()()abicdi说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.i2acadibcibd探求新知对任意复数z1、z2、z3∈C，有乘法交换律z1·z2＝_____乘法结合律(z1·z2)·z3＝_______乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝________z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3z2·z12．复数乘法的运算律例题讲解例1：计算12ii2123ii解：22ii12i2362iii362ii原式原式55i解:原式=()()234682iiii=()()1122ii=2221142iii=2015i例2.计算复数的乘法与多项式的乘法是类似的.(12)(34)(2).iii例题讲解例题讲解例3.计算：（1）（2）(34)(34)ii2(1)i解：22(34)(34)3(4)9(16)25iii（1）（2）22(1)121212iiiii我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.相等互为相反数设z1＝a＋bi，z2＝a－bi.当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．探求新知3.共轭复数：复数的共轭复数记作,zbiza记z＝a＋bi探究3：探求新知若，是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（2）是一个怎样的数？xyOz12z（1）关于实轴对称结论：（2）22zzab即：乘积的结果是一个实数zabizabizz（3）zz与22,zz有何关系？22zzzz（3）探求新知探究4：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝_______________________．?例4.计算)43()21(ii解:iiii4321)43()21()43)(43()43)(21(iiii2510543468322iiii5251例题讲解复数的除法法则分母实数化dicbiadicbia)()())(())((dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).变式训练计算：1312ii解：1312ii13121212iiii555i1i原式1、先写成分式形式3、化简成代数形式就得结果.2、然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)方法总结：复数的乘除法考点突破1、计算(1)(32)32ii12(2)iii解：原式2223i223i5原式3iiii213ii13i共轭复数2、(2013年高考福建卷)已知复数z的共轭复数12zi（为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限C.第三象限D.第四象限B.第二象限iD3、已知复数，是z的共轭复数，则的模133iziz等于（）zA.4B.2C.1D.14C共轭复数4、（2013年高考安徽卷）设是虚数单位，是复数22zzizi的共轭复数，若则等于（）zA.B.C.D.1izz1i1i1iA【思路点拨】22zzzzi的运算性质及应用5、计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010.【思路点拨】解答本题可利用等比数列求和公式化简【解】法一：原式＝i1－i20101－i＝i[1－i21005]1－i＝i·1＋11－i＝2i1＋i2＝－1＋i.思考：能否利用in的周期性化简？探究：i1＝____;i2＝___;i3＝____;i4＝____．i5＝___，i6＝____，i7＝____，i8＝_____．i-i-11i-1-i1知识拓展提升虚数单位i的周期性：(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．注意：n也可以推广到整数集．法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010)＝i－1＋0＝－1＋i.【思维总结】等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．解：设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010，则iS＝i＋2i2＋…＋2010i2010＋2011i2011，∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2010－2011i2011＝1－i20111－i－2011i2011＝1－i4502i31－i－2011(i2)1005i＝2012i.∴S＝2012i1－i＝2012i1＋i2＝－1006＋1006i.变式训练课堂小结1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性质？3、复数除法的运算法则是什么？布置作业1、课本P112页习题3.2A组2、《导与练》P50—51页巩固提升若是关于的方程的一个根，32ix20(,)xaxbabR求的值.,ab解：32i是方程的根20xaxb232320iaib531220abai5301220aba613ab