法向量详解

--1专题：法向量的详解高中数学法向量的定义：如果向量a平面，那么向量a叫做平面的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离设A是平面外一点，AB是的一条斜线，交平面于点B，而n是平面的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，所以nnBAnBABAh,cos※例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。解：如图建立空间直角坐标系，DB＝（1，1，0），DF＝（0，21，1），1DA＝（1，0，1）设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有：θAαBhnzxBA1yFEB1C1D1DCA--200DFnDBn，即0210zyyx令2111zyx，，,取n＝（1，－1，21），则A1到平面DBEF的距离11nDAnh注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。法向量的求解有多种，根据线面垂直的判定定理，设n＝（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。二、求异面直线间的距离假设异面直线a、b，平移直线a至a，且交b于点A，那么直线a和b确定平面，且直线a∥，设n是平面的法向量，那么n⊥a，n⊥b。所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面的距离，方法同例1。结论：12,ll是两条异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离，则||||CDndn。例2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。解：如图建立空间直角坐标系，则AC＝（－1，1，0），1DA＝（1，0，1）连接11CA，则ACCA//11,设平面DCA11的法向量为zA1yxAC1BCD1B1D--3)(zyxn，，，由001DAnACn，解得n＝（1，1，－1），又1AA＝（0，0，1）所以点A到平面A1C1D的距离为331nnAAh，即直线DA1和AC间的距离为33。注：这道题若用几何推理，需连结D1B，交△DA1C1和△B1CA分别为E、F，并证明△D1DE≌△B1BE，且EF恰好等于DA1和AC的公垂线段长而且三等分线段D1B，进而求解EF，解题过程几经转化，还需添加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。三、求直线与平面所成的角直线AB与平面所成的角θ可看成是向量AB与平面的法向量n所成的锐角的余角，所以有nABnABnAB,cossin。例3：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角。解：如图建立空间直角坐标系，AB＝（0，1，0），1AD＝（－1，0，1），AE＝（0，21，1）设平面ABC1D1的法向量为n＝（x，y，z）,EzxD1yAC1B1A1BDAC--4由001ADnABn可解得n＝（1，0，1）设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则510sinnAEnAE，510arcsin四、求二面角的大小若n、n分别为平面,的法向量，则二面角l的平面角，nnnnarccos（或者其补角）。例4：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小。解：如图建立空间直角坐标系，11CA＝（－1，1，0），BA1＝（0，1，－1）设1n、2n分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由0011111CAnBAn可解得)1,0,0()1,1,1(21nn所以，33,cos212121nnnnnn所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为33arccos或33arccos。DlβBACαzyxD1A1DB1C1CBA--5注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。五、证明两平面平行或垂直①若α∥β，则n∥n；反之也成立。②若α⊥β，则n⊥n；反之也成立。例5：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC。证明：如图建立空间直角坐标系，则11CA＝（－1，1，0），CB1＝（－1，0，－1）DA1＝（1，0，1），AB1＝（0，－1，－1）设111CAEA，DAFA11，ABMB11（、、R，且均不为0）设1n、2n分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由001111FAnEAn，可得0012111DAnCAn，即0012111DAnCAn解得：1n＝（1，1，－1）FyEMxzD1C1B1A1CDBA--6ABCDEA1B1C1D1xyz图4由001212CBnMBn，可得001212CBnABn，即001212CBnABn解得2n＝（－1，1，－1），所以21nn，21//nn，所以平面A1EF∥平面B1MC。注：如果求证的是两个平面垂直，可以求出两个平面的法向量，利用02121nnnn来证明。利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。例5如图4，在长方体ABCD1111ABCD中，AD=1AA=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（Ⅰ）证明：11DEAD；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离；（Ⅲ）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4。分析本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求--7解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AEa，则1(1,0,1)A，1(0,0,1)D，(1,,0)Ea，(1,0,0)A，(0,2,0)C。（Ⅰ）证明：由1(1,0,1)DA，1(1,1,1)DEa，11(1,0,1)(1,1,1)110DADEa，有11DADE，于是11DEAD。（Ⅱ）E是AB的中点，得(1,1,0)E，1(1,1,1)DE，(1,2,0)AC，1(1,0,1)AD。设平面1ACD的法向量为(,,1)nxy，单位法向量为0n，由100nACnAD(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0xyxy2010xyx，解得112xy。于是1(1,,1)2n，有01(1,,1)2122(,,)3331114n。设点E到平面1ACD的距离为d，则102121(1,1,1)(,,)3333dDEn所以点E到平面1ACD的距离为13。（Ⅲ）平面DEC的法向量1(0,0,1)n，设平面1DEC的法向量2(,,1)nxy。又(1,2,0)ECa，1(0,2,1)DC。由22100nECnDC，得(,,1)(1,2,0)0(,,1)(0,2,1)0xyaxy(2)0210xyay，解得1212axy，于是21(1,,1)22an。设所求的二面角为，则4，有--8ABCDEFxyzP图51221(0,0,1)(1,,1)222coscos,21(1)124aDDna，得21(1)1224a。解得23a，所以，当AE=23时，二面角1DECD的大小为4。例6如图5，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，例7PD底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小。分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理论证能力，本题也是一题两法。（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=PD=1，AB=2a（0a），则E(a,0,0)，C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1),，F（21,21,a）.得11(0,,)22EF，(2,1,1)PBa，(2,0,0)ABa。由11(0,,)(2,0,0)022EFABa，得EFAB，即EFAB，同理EFPB，又ABPBB，所以，EF平面PAB。（Ⅱ）解：由2ABBC，得22a，即22a。得2(,0,0)2E，211(,,)222F，(2,0,0)C。有(2,1,0)AC，2(,1,0)2AE，11(0,,)22EF。--9ABCDMP图6设平面AEF的法向量为(,,1)nxy由00nEFnAE11(,,1)(0,,)0222(,,1)(,1,0)02xyxy11022202yxy，解得12yx。于是(2,1,1)n。设AC与面AEF所成的角为，AC与n的夹角为,ACn则(2,1,0)(2,1,1)3sincos,6210211ACnACnACn，得3arcsin6。所以，AC与平面AEF所成角的大小为3arcsin6。说明：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC与平面AEF所成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面的法向量n，利用向量间的代数运算，可方便简捷地解决此题。利用法向量也可顺利求解：如图6已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，090DAB，PA底面ABCD，点。且PA=AD=DC=112AB，M是PB的中（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。解：（略）说明：本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造--10成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量将在数学解题中起到越来越大的作用。