高中数学-平面向量单元测试

1平面向量单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD（）A．BABC21B．BABC21C．BABC21D．BABC213．设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ba共线，则=（）A．0B．－1C．－2D．0.513．在ABCD中，,,3ABaADbANNC，M为BC的中点，则MN_______.（用ab、表示）2平面向量单元测试参考答案1．BABCBDCBCD21，故选A．2．B设所求向量e=（cos,sin）,则由于该向量与,ab的夹角都相等,故ebeaebebeaea||||||||7117cossincossin22223cos=-4sin,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B选项成立,故选B．3．D依题意知向量ab与ba2共线，设abk（ba2），则有0)()21(bkak，所以0021kk，解得5.0k，选D．4．解选B．设,()bxyxy，则依题意有221,33.xyxy1,23.2xy5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)iPPPPi=的几何意义:数量积121iPPPP等于12PP的长度12PP与1iPP在12PP的方向上的投影1121cos,iiPPPPPP的乘积.显然由图可知13PP在12PP方向上的投影最大.所以应选(A).6．B,,ADABODOAOBOA即得11,ODOAOBab又OD是AB边上的高，0ODAB即，整理可得2(),baaab即得2aabab，故选B．7．A设P点坐标为),(yx，则),(yxOP.由01OPOM，01OPON得10220yyx，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可8．A要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3)+1的图象向下平移1个单位，再3向右平移)(62Zkk个单位.即应按照向量))(1,62(Zkka进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16），故选A．9．B由0abc得)(bac，两边平方得1222cos||||2||||||babac，将||3a，||4b，||5c代入得0cos1，所以0190；同理，由0abc得)(bca，可得54cos2，53cos3，所以132.10．B由已知得1||b，所以4||22nma，因此)sin(sincos22nmnmba4)sin(4，由于2ba恒成立，所以42，解得2或2.11．答案B∵1OA，3OB，0OAOB∴△ABC为直角三角形，其中1142ACAB∴1131()4444OCOAACOAABOAOBOAOAOB∴31,44mn即3mn故本题的答案为B．12．答案B取特殊值、数形结合在ABC中，90oC，不妨取A（0，1），C（0，0），B（0，1），则∵2121ABxxyy∴1AC、1BC、|10||01|2AB此时222ACCB、24AB、222ACCBAB；ACCBAB即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，则1313||||||||||||ACxxyyACCC＝＝||||||||ABBCCCCC＝||||||||ABBBBCCC1212||||||||||||ABxxyyABBB，2323||||||||||||BCxxyyBCCC∴ACCBAB即命题①是正确的.ACCBBCAOBC4综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B．13．343A=3()ANNCANCab由得，12AMab，所以3111()()4244MNababab.14．2222yx设),(yxM，则),(yxOM，又)1,1(),1,2(OBOA，所以由OMmOAnOB得),(),2(),(nnmmyx，于是nmynmx2，由2222mn消去m,n得M的轨迹方程为：2222yx.15．2如图，设xAO，则xOM2，所以)(OCOBOAOMOAOMOA222)1(242)2(222xxxxx，故当1x时，OMmOAnOB取最小值-2.16．21m因为)3,5(),3,6(),4,3(mmOCOBOA，所以),1(),1,3(mmBCAB.由于点A、B、C能构成三角形，所以AB与BC不共线，而当AB与BC共线时，有mm113，解得21m，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是21m.17．解析：（1）若a与b平行，则有2sin12cossin1xxx，因为]2,0(x，0sinx，所以得22cosx，这与1|2cos|x相矛盾，故a与b不能平行.（2）由于baxf)(xxxxxxxxxsin1sin2sinsin21sin2cos2sin2cossin22，又因为]3,0(x，所以]23,0(sinx，于是22sin1sin22sin1sin2xxxx，当OMCBA5xxsin1sin2，即22sinx时取等号.故函数)(xf的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+43).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22＝.（Ⅱ）由sin(2x+43)＝0得2x+43＝k.，即x＝832k,k∈Z，于是d＝（832k，－2），,4)832(2kdk∈Z.因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―8，―2）即为所求.19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程得22(2)12xkx．整理得22122102kxkx①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于2221844202kkk，解得22k或22k．即k的取值范围为2222，，∞∞．（Ⅱ）设1122()()PxyQxy，，，，则1212()OPOQxxyy，，由方程①，1224212kxxk②又1212()22yykxx③而(20)(01)(21)ABAB，，，，，．所以OPOQ与AB共线等价于12122()xxyy，将②③代入上式，解得22k．6由（Ⅰ）知22k或22k，故没有符合题意的常数k．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,24.ABACABABACAC因此，228ABAC．（Ⅱ）2cosABACAABACABAC，1sin2ABCSABACA△211cos2ABACA222221cos2ABACABACA22142ABAC2221422ABAC3．（当且仅当2ABAC时，取等号），当ABC△的面积取最大值3时，1cos2ABACAABAC，所以3A.解：（I）由条件知：0ab且2222(2)444abababb，42aba，设ab和夹角为，则41||||cosbaba，1cos4arc，故ab和的夹角为1cos4arc，（Ⅱ）令)aab和(的夹角为22221102222abababaaa，410||210||41||||||||)(cos222aaaabaabaabaabaa)aab和(的夹角为10arccos4.21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD→=tAB→,BE→=tBC→,知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2).∴xD=－2t+2yD=－2t+1同理xE=－2tyE=2t－1.∴kDE=yE－yDxE－xD=2t－1－(－2t+1)－2t－(－2t+2)=1－2t.yxOMDABC－1－1－212BE第21题解法图7∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].（Ⅱ）如图,OD→=OA→+AD→=OA→+tAB→=OA→+t(OB→－OA→)=(1－t)OA→+tOB→,OE→=OB→+BE→=OB→+tBC→=OB→+t(OC→－OB→)=(1－t)OB→+tOC→,OM→=OD→+DM→=OD→+tDE→=OD→+t(OE→－OD→)=(1－t)OD→+tOE→=(1－t2)OA→+2(1－t)tOB→+t2OC→.设M点的坐标为(x,y),由OA→=(2,1),OB→=(0,－1),OC→=(－2,1)得x=(1－t2)·2+2(1－t)t·0+t2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t·(－1)+t2·1=(1－2t)2消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].故所求轨迹方程为:x2=4y,x∈[－2,2]22．（1）设(,)Pxy，(,)Mxy，则(,)OPxy，(,0)OQx，(2,)OMOPOQxy222212,1,124xxxxxxyyyyyy.（2）设向量OP与OM的夹角为，则22222222(1)cos31||||4xyxOPOMxOPOMxy，令231tx，则21(2)1422cos4333tttt，当且仅当2t时，即P点坐标为36(,)33时，等号成立.OP与OM夹角的最大值是22arccos3.