2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

12012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2012•重庆）命题“若p则q”的逆命题是（）A．若q则pB．若￢p则￢qC．若￢q则￢pD．若p则￢q考点：四种命题．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得解答：解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若p则q”的逆命题是若q则p．故选A．点评：本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题．2．（5分）（2012•重庆）不等式＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考点：其他不等式的解法．菁优网版权所有专题：计算题．分析：直接转化分式不等式为二次不等式求解即可．解答：解：不等式＜0等价于（x﹣1）（x+2）＜0，所以表达式的解集为：{x|﹣2＜x＜1}．故选C．点评：本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力．3．（5分）（2012•重庆）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1B．C．D．2考点：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．解答：解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，∵圆心（0，0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2．故选D点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利2用勾股定理来解决问题．4．（5分）（2012•重庆）（1﹣3x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣270B．﹣90C．90D．270考点：二项式系数的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由（1﹣3x）5的展开式的通项公式Tr+1=•（﹣3x）r，令r=3即可求得x3的系数．解答：解：设（1﹣3x）5的展开式的通项公式为Tr+1，则Tr+1=•（﹣3x）r，令r=3，得x3的系数为：（﹣3）3•=﹣27×10=﹣270．故选A．点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式（1﹣3x）5的展开式的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分）（2012•重庆）=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有专题：计算题．分析：将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：===sin30°=．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．103考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有专题：计算题．分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．7．（5分）（2012•重庆）已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜cB．a=b＞cC．a＜b＜cD．a＞b＞c考点：不等式比较大小．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．解答：解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选：B．点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有专题：证明题．分析：利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，从而可判断当x＜0时，函数y=xf′（x）的函数值的正负，从而做出4正确选择．解答：解：∵函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴f′（﹣2）=0，且函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，即当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，从而当x＜﹣2时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，y=xf′（x）＜0，对照选项可知只有C符合题意．故选：C．点评：本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，筛选法解图象选择题，属基础题．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2（1）取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵两边之和大于第三边∴＜2得0＜a＜（负值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故选：A．点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．510．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（）A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）考点：指、对数不等式的解法；交集及其运算；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：利用已知求出集合M中g（x）的范围，结合集合N，求出g（x）的范围，然后求解即可．解答：解：因为集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2﹣4g（x）+3＞0，解得g（x）＞3，或g（x）＜1．因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．即3x﹣2＜1，解得x＜1．所以M∩N={x|x＜1}．故选：D．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考查计算能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=15．考点：等比数列的前n项和．菁优网版权所有专题：计算题．分析：把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．解答：解：首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4==15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．12．（5分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．考点：函数奇偶性的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a解答：解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案为：4．点评：本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题613．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2012•重庆）设P为直线y=x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：设F1（﹣c，0），利用F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点，可得（﹣c，）在双曲线﹣=1上，由此可求双曲线的离心率．解答：解：设F1（﹣c，0），则∵F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点7∴（﹣c，）在双曲线﹣=1上∴∴∴=故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率，属于中档题．15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率．解答：解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，故所有的排法种数为．∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，解题的关键是根据具体情况选用插空法，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2012•重庆）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{an}的通项公式8（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1），再由=a1Sk+2，求得正整数k的值．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2．∴{an}的通项公式an=2+（n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴=a1Sk+2，∴4k2=2（k+2）（k+3），k=6或k=﹣1（舍去），故k=6．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点