小学奥数几何五大模型

小学奥数几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1所示，::ABDACDSSBDCD△△；3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比，如图2所示，::ACDBCDSSAEBF△△；4、在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则直线ABCD∥。例、如图，ABC△的面积是24，DEF、、分别是BCACAD、、的中点，求DEF△的面积。解析：根据等积变换知，11241222ADCABCSS△△,1112622ADEADCSS△△，116322DEFADESS△△。图3图2图1FEBDCABCDADCBAFEDCBA（2）鸟头模型（共角定理）1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。如下图ABC△中，DE、分别是ABAC、上或ABAC、延长线上的点。则有：ADEABCSADAESABAC△△。我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！证明：如图，连接BE，根据等积变换模型知，::ADEABESSADAB△△、::ABECBESSAECE△△，所以:::ABEABCABEABECBESSSSSAEAC△△△△△。因此ADEADEABEABCABEABCSSSADAEADAESSSABACABAC△△△△△△。例、如图，在ABC△中，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且:ABAD5:2，:3:2AEEC，ADE△的面积为12平方厘米，求ABC△的面积。EDCBAEDCBAEDCBAEDCBA解析：根据鸟头模型可知：ABCADESABACSADAE△△，所以55125023ABCADEABACSSADAE△△（平方厘米）。（3）蝴蝶模型1、梯形中的比例关系(“梯形蝴蝶定理”):①24SS（因为ABCDBCSS△△，所以ABCOBCDBCOBCSSSS△△△△），2213::SSab；②221234::::::SSSSababab；③梯形S的对应份数为2ab。例、如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，对角线ACBD、交于点O，已知AOBBOC△、△的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。解析：由梯形蝴蝶模型的性质知，2::25:35AOBBOCSSABABCD△△，所以:5:7ABCD；所以2222::5:725:49AOBDOCSSABCD△△，即49DOCS△平方厘米，而35AODBOCSS△△平方厘米，所以梯形ABCD的面积为：25+35+35+49=144平方厘米。baS4S3S2S1ODCBA3525ODCBA2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::SSSS或者1324SSSS；②1234SSAOCOSS，2314SSBODOSS。例、如图，四边形ABCD的对角线ACBD、交于点O，如果ABD△的面积等于BCD△面积的13，且2AO，3DO，求CO的长度是DO长度的几倍。解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知，::1:3ABDBCDAOCOSS△△，所以3326COAO，所以:6:32:1CODO，即CO是DO的2倍。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。S4S3S2S1OCBDAOCBDA相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DEBC∥。(一)金字塔模型(二)沙漏模型结论：因为DEBC∥，所以ADEABC△∽△，则①ADAEDEABACBC；②22::ADEABCSSADAB△△。例、如图，已知在平行四边形ABCD中，16AB、10AD、4BE，那么FC的长度是多少？解析：根据平行四边形的性质知，ABCD∥，所以由沙漏模型知：::16:44:1FCFBCDBE，所以44108415FCBC。（5）燕尾模型由于两种颜色阴影部分的形状合在一起像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：①::ABOACOSSBDDC△△；②::ABOBCOSSAEEC△△；EDCBAEDCBAFEDCBAOFEDCBA③::ACOBCOSSAFFB△△。例、如图，DE、分别在BCAC、上，且:2:3AEEC，:1:2BDDC，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。解析：如图所示，连接CF构造燕尾模型。根据燕尾模型性质可知：12ABFACFSBDSDC△△，23ABFCBFSAESEC△△。现设1BDFS△份，则2CDFS△份、4ACFS△份、241.623AEFS△份、342.423CEFS△份。所以22.44.4DFECS四边形份、2349ABCS△份。224.4945ABCS△（平方厘米）。二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的EFG、、分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？FEDCBA21.62.421FEDCBAGFEDCBA654321GFEDCBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边ABBCCD、、就被分成了相等的三段。把点H和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。根据等积变换模型可知，CD边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。例2、如图所示，QEPM、、、分别为直角梯形ABCD两边ABCD、上的点，且DQCPME、、彼此平行，已知5753ADBCAEEB、、、，求阴影部分三角形PQM的面积。解析：如图所示，连接CEDE、，由于DQME、平行，根据同底等高知，QMEDMESS△△；同理根据BCME、平行，有PMECMESS△△；所以PQMCDESS△△。由于四边形ABCD为直角梯形，所以1115753553725222CDEADEBCEABCDSSSS△△△梯形，即阴影三角形PQM的面积为25。（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD，BEAB、2CFCB、3GDDC、4HAAD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。PQMEDCBAABCDEMQP解析：如图所示，连接ACBD、，由于在ABCEBF△、△中，ABC∠与EBF∠互补，根据鸟头定理有111133ABCEBFSABBCSBEBF△△；因为112ABCABCDSS△平行四边形，所以3EBFS△；同理可得：428AEHS△、428GCFS△、5315DHGS△。所以2218815323618ABCDEBFSS平行四边形四边形。例2、如图所示，ABC△的面积为1，54BCBDACECDGGSSE、、、AFFG，求FGS△的面积。解析：首先根据等积变换模型知，FGSFESEAFEGFSSSS△△△△、，所以4AGEFGSSS△△。根据鸟头模型有32213AGECDESAEGESCEDE△△，所以2CDEFGSSS△△；21211AGDFGSSAGDGSFGSG△△，所以2AGDFGSSS△△；所以8ACDFGSSS△△；CHFEDGBACHFEDGBASGFEDCBA111144ADBACDSADBDSADDC△△，所以2ADBFGSSS△△；所以10ABCFGSSS△△，即110FGSS△。（3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？解析：如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分成两半。设AOBS△的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，2BCAD，再根据梯形蝴蝶定理，标出各个三角形所占份数，所以整个正六边形被分成了18份，阴影部分占其中的8份，即阴影部分面积为841189。例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。解析：如图所示，连接DECF、。在梯形EDCF中，根据梯形蝴蝶定理知，EODFOCSS△△，2816EODFOCEOFDOCSSSS△△△△，即4EODFOCSS△△，所以8412ECDS△，12224ABCDS长方形，245289OFBCS四边形。12244221ODCBA2？85OFEDCBA2？85OFEDCBA例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。解析：设BD与CE的交点为O，连接BEDF、。在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理知，::BEDBCDEOCOSS△△，而1142BEDBCDABCDABCDSSSS△△正方形正方形、，所以:1:2EOCO。又因为F为CE的中点，所以:2:1EOFO。在四边形BFDE中，由蝴蝶定理知，::2:1BEDBFDEOFOSS△△，所以1148BFDBEDABCDSSS△△正方形。所以11110106.2521616BDGBFDABCDSSS△△正方形（平方厘米）。（4）相似模型例1、如图，正方形的面积为1，EF、分别为ABBD、的中点，13GCFC,求阴影部分的面积。解析：如图所示，作FH垂直BC于点H，GI垂直BC于点I，根据金字塔模型知，::1:3CICHCGCF；因为F是BD的中点，所以CHBH，:1:6CICB，即:61:65:6BIBC，所以115522624BEGS△。GFEDCBAGOFEDCBAGFEDCBAIGHFEDCBA例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BDBE、分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知5AH,3HF,求AG的长。解析：根据长方形的性质知，ABDF∥，再根据沙漏模型知::5:3ABDFAHHF，又因为E为AD的中点，所以:1:2OEFD，所以3:5:10:32ABOE。利用相似三角形性质可得：::10:3AGDOABOE，∵11=53422AOAF，∴104041313AG。（5）燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。解析：如图，连接BH。由于BE与CD平行，根据沙漏模型知，::1:2BGGDBECD。现设1BHCS△份，根据燕尾模型知，2DHCS△份，2BHDS△份。因此整个正方形ABCD就是：（1+2+2）×2=10（份）。四边形BGHF占：11712236（份）。所以