直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(2).学生版-普通高中数学复习讲义Word版

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12FF，的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①22221(0)xyabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．②22221(0)yxabab，焦点是1(0)Fc，，2(0)Fc，，且222cab．3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)xyabab研究）：⑴范围：axa≤≤，byb≤≤；⑵对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212AABB，，，；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12AA；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12BB．⑸椭圆的离心率：cea，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭圆越扁；反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx4．直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0fxy，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：板块一.直线与椭圆(2)设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0fxy，，由0()0AxByCfxy，消去y（或消去x）得：20axbxc．若0a，24bac，0相交；0相离；0相切．若0a，得到一个一次方程：①C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；②C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则弦长公式为2212121||11ABkxxyyk．两根差公式：如果12xx，满足一元二次方程：20axbxc，则2221212124()44bcbacxxxxxxaaaa（0）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】设椭圆22221(0)xyCabab∶过点21M，，且左焦点为120F，⑴求椭圆C的方程；⑵当过点41P，的动直线l与椭圆C相交与两不同点AB，时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上．【例2】已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60xy相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交典例分析椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；⑶在⑵的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求OMON的取值范围．【例3】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．⑴求椭圆C的标准方程；⑵若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【例4】在直角坐标系xOy中，点M到点13,0F，23,0F的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线:lykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当0APAQ时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．【例5】在直角坐标系xOy中，点M到点13,0F，23,0F的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线:2lykx与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵是否存在常数k，0OPOQ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【例6】设椭圆2222:1(0)xyCabab的一个顶点与抛物线2:43Cxy的焦点重合，12FF，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e，且过椭圆右焦点2F的直线l与椭圆C交于MN、两点．⑴求椭圆C的方程；⑵是否存在直线l，使得2OMON．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．⑶若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB∥，求证：2||||ABMN为定值．【例7】已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，短轴两个端点为A、B，且四边形12FAFB是边长为2的正方形．⑴求椭圆的方程；⑵若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连结CM，交椭圆于点P．证明：OMOP为定值．⑶在⑵的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【例8】已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与(31)a，共线．⑴求椭圆的离心率；⑵设M为椭圆上任意一点，且()OMOAOBR，，证明22为定值．【例9】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，经过点P(2,1)且离心率2e2．过定点(10)C，的直线与椭圆相交于A，B两点．⑴求椭圆的方程；⑵在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．