立体几何综合测试卷

立体几何一、选择、填空题1、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A.87B．16C．32D．642、如图，在正四棱柱1111CDCD中，2,11AAAB，点是平面1111CD内的一个动点，则三棱锥ABCP的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A．1B．2C．21D．41第2题第3题3、若某几何体的三视图(单位：cm)如右上图所示，则此几何体的表面积是()cm2A.12πB.24πC.15π+12D.12π+124、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为(A)3(B)23(C)33(D)435、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的高为A.2B.3C.5D.66、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)8－2(B)8－34(C)8－23(D)8－27、已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为．8、若m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是A．若m，，则mB．mnmn，，，则C．若，，则D．mm，，则9、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．10、若l、m、n是互不相同的空间三条直线，、是不重合的两个平面，下列结论正确的是（）A、α∥β，lα，nβl∥n；B、l⊥α，l∥βα⊥βC、l⊥n，m⊥nl∥m；D、α⊥β，lαl⊥β；11、甲几何体(上)与乙几何体（下）的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为1V、2V,则12:VV等于（）A．1:4B．1:3C．2:3D．1:12、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示.则该几何体的表面积等于A．6043221B．6023221C．6023421D．604342113、设,ab是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若//,//aba，则//bB.若,//a，则aC.若,a，则//aD.若,,abab，则14、右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为▲．2323CMFEDBA第14题第15题15、）已知一个几何体的三视图如右上图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么，该几何体的外接球的表面积为二、解答题1、已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．(I)求证：AB1⊥面PBC;(Ⅱ)在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求三棱锥Q-PBB1的体积。2、如图，空间几何体BCFADE中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，DCAD，4,2EFDEADAB，M是线段AE上的动点．（1）试确定点M的位置，使AC//平面MDF，并说明理由；（2）在（1）的条件下，平面MDF将几何体BCFADE分成两部分，求空间几何体DEFM与空间几何体BCFADM的体积之比3、如图1，在直角梯形EFBC中，FB∥⊥EC,BF⊥_EF，且EF=12FB=13EC=1,A为线段FB的中点，AD⊥EC于D，沿边AD将四边形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（I）求证：BC⊥平面EDB;(Ⅱ)求点M到平面BEF的距离．4、如图，一个侧棱长为，的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1Cl的中点D，E，F，G．(I)求证：平面DEFG∥平面ABB1A；(II)当底面ABC水平放置时，求液面的高．5、在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AC=3,ACBC.（I）求点B到平面PAC的距离;（Ⅱ）求异面直线PA与BC所成角的余弦值。6、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且ADPD2MA．（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．7、在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．(1)求证：BC⊥平面PBD；(2)设E是侧棱PC上一点，且CE=2PE，求四面体P－BDE的体积．8、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）平面PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．9、在如图所示的四棱锥ABCDP中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝2，点E为PC的中点，连接DE，BD，BE。（1）证明：PA∥平面DBE；（2）若直线BD与平面PBC所成角的为30°，求点E到平面PDB的距离。10、如图，在三棱锥PABC中，△PAB是正三角形，在△ABC中，ABBC,且D、E分别为AB、AC的中点．（1）求证：//DE平面PBC；（2）求异面直线AB与PE所成角的大小．11、如图，已知长方形ABCD中，22AB，2AD，M为DC的中点．将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM．(Ⅰ)求证：ADBM；(Ⅱ)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥EADM的体积与四棱锥DABCM的体积之比为1:3？12、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDABCD底面，E是PC的中点。（1）证明：//PAEDB平面；（2）证明：PACPDB平面平面。参考答案：1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、258、D9、10、D11、B12、A13、D14、64415、12π1、.解(1)∵1AA⊥面ABCD，BC面ABCD∴1AA⊥BC∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC∴BC⊥面BBAA11∵1AB面BBAA11∴1AB⊥BC………………2分取1AA中点M连结BM,PM∴PM∥AD,∴PM∥BC∴PMBC四点共面由△ABM≌△ABA11，可证得1AB⊥BM………………4分∵BM∩BC=B，∴1AB⊥面PBC……………………6分（2）在BC边上取一点Q，使PQ//BM，则PQ//面11AABB∵PQBM为平行四边形，∴BQ=PM=3)(2111ADDA…………8分∵PM∥平面CCBB11∴1111MBBQQBBMQBBPPBBQVVVV三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥6||311BQSMBB…………12分2、（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC//平面MDF，证明如下：1分连结CE交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN//AC，又MN在平面MDF内，4分所以AC//平面MDF6分（Ⅱ）将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－CFB，三棱柱ADE－CFB的体积为VS△ADE·CD=8422218分则几何体ADE－BCF的体积32022221318　VVVCBBFCFBADEBCFADE三棱柱10分又三棱锥F－DEM的体积341422131　VDEMF三棱锥11分∴两几何体的体积之比为34：（34320）=4112分3、4、5、7、(1)证：∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD与平面ABCD相交于CD∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC2分在△ABD中，∠A=90°，AB=AD=2，∴22BD，∠ADB=45°在△ABD中，∠BDC=45°，22BD，DC=4∴222cos45222BDDCBCBCBDDC由BD2+BC2=16=DC2知BD⊥BC4分∵PD⊥BC，BD、PD相交于D，∴BC⊥平面PBD6分(2)解：过E作EF∥PD交DC于F，由(1)知EF⊥平面ABCD由CE=2PE得：23EFCEPDPC，∴43EF8分112339PBDEPBCDEBCDBCDBCDBCDVVVPDSEFSS10分1142422BCDSCDAD∴89PBDEV12分8、解：证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．…………………6分（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE…………………12分9、（1）证明：连AC，交BD于O，连OE，则PA∥OE，又OEDBEPADBE平面，平面，∴PA∥平面DBE.………………4分（2）解：∵侧棱PD底面ABCD，∴PD⊥BC．底面是矩形，∴BC⊥DC，且PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴BC⊥DE．PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC．又PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC．………………8分故若直线BD与平面PBC所成的角即∠DBE=30°．由已知可求出2,22,DEDB∴BC=2．………………9分11112222223232EPDBDPEBVVh由得，……11分解得22h………………12分(注：本小题可直接过点E作平面PBD的垂线)10、证明：（I）在△ABC中，//DEBCDE平面PBC,BC平面PBC.........................4分（少一个条件扣1分）//DE平面PBC.........................5分（II）连接PD，在正△PAB中，D为AB中点，PDAB,.........................7分[ABBC，//DEBC，DEAB，.........................9分PD与DE是平面PDE内的两相交直线，AB平面PDE,.........................10分ABPE，故异面直线AB与PE所成角为90..........................12分（通过平移直线AB至E点后与BC相交于点F，连接PF，在△PEF内用余弦定理求解亦可）11、(Ⅰ)证明：∵长方形ABCD中，AB=22，AD=2，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.………………2分∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM………………6分(Ⅱ)E为DB的中点．………………7分1112122233EADMBADMDABMDABCMDABCMVVVVV………………12分12、解：（1）设AC与BD相交于点O则O为AC的中点E是P的中点//EOPA又EO平面EDB,PA平面EDB//PA平面EDB(2)PO平面ABCDPDAC又四边形ABCD为正方形ACBD从而AC平面PBD,平面PAC平面PBD