材料力学第十章

§10–1压杆稳定性的概念构件的承载能力：①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。P一、稳定平衡与不稳定平衡：1.不稳定平衡2.稳定平衡3.稳定平衡和不稳定平衡二、压杆失稳与临界压力：1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：稳定平衡不稳定平衡3.压杆失稳：4.压杆的临界压力稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Pcr过度对应的压力§10–2细长压杆临界力的欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力:PyyxM),(假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。yEIPEIMy①弯矩：②挠曲线近似微分方程：02ykyyEIPyEIPk2:其中PPxPxyPM③微分方程的解：④确定积分常数：kxBkxAycossin0)()0(Lyy0cossin00:kLBkLABA即0cossin10kLkL0sinkLEIPLnk临界力Pcr是微弯下的最小压力，故，只能取n=1；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。22LEIPcr二、此公式的应用条件：三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式1.理想压杆；2.线弹性范围内；3.两端为球铰支座。—长度系数（或约束系数）。两端铰支压杆临界力的欧拉公式压杆临界力欧拉公式的一般形式22LEIPcr22)(LEIPcr0.5l表9–1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μ22lEIPcr22)7.0(lEIPcr22)5.0(lEIPcr22)2(lEIPcr22lEIPcr=10.7=0.5=2=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lPcrPcrl2llC—挠曲线拐点例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面，h=50mm，b=30mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa；求临界力。解：(1)判断bbyzzyII所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲；(2)计算临界压力kN....lEhblEIPycr79851120300501020012229223222③压杆的临界力例2求下列细长压杆的临界力。,123hbIy=1.0，解：①绕y轴，两端铰支：222LEIPycry,123bhIz=0.7，②绕z轴，左端固定，右端铰支：212)7.0(LEIPzcrz),min(crzcrycrPPPyzL1L2yzhbx§10–3压杆临界应力APcrcr一、基本概念1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3.柔度：222222)/()(EiLEALEIAPcrcr2.细长压杆的临界应力：—惯性半径。—AIi）—杆的柔度（或长细比—iL22Ecr即：例3细长木柱长l=7m，横截面是矩形，h=200mm，b=120mm；当它在xz平面(最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定；当它在xy平面(最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支；木材的弹性模量E=10GPa；求临界力和临界应力。bbyz解：(1)求在xz平面内弯曲时的柔度；121213bhbhbAIiyy(2)求在xy平面内弯曲时的柔度；121213hhbbhAIizzlblblilyy43.143125.01lhlhlilzz32.17321212(3)判断杆件易在哪个平面内弯曲；yz所以易在xy平面内弯曲；(4)求临界力和临界应力；MPaEzcr73.622kNAPcrcr1614.大柔度杆的分界：PcrE22欧拉公式求解。细长杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足PPPE2求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其P二、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式①PS时：scrbassba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临PsbacriLcr界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临S22Ecr③临界应力总图②S时：scrbacrPSbassPPE2例4两端铰支的压杆，长l=1.5m，横截面直径d=50mm，材料是Q235钢，弹性模量E=200GPa，=190MPa；求压杆的临界力；如果：(1)l1=0.75l；(2)l2=0.5l，材料选用优质碳钢；压杆的临界力变为多大?p解：(1)计算压杆的柔度：44164124dddAIi1204dlil(2)判别压杆的性质并计算临界力p10221pE压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；kNAEAPcrcr26922(a)当l1=0.75l时，9012075.06212.1235304bassps压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力kNAbaAPcrcr399(b)当l2=0.5l时，601205.0s4.60568.2306461bass压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；kN.APscr600050411030626§10–4压杆的稳定校核及其合理截面一、稳定条件：压杆的实际工作压力不能超过许用压力；stcrnPPP定义工件安全系数为：PPncr则稳定条件为：stnn二、压杆稳定计算的类型：稳定性校核、压杆截面的设计和压杆的许可载荷设计；例5图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80mm，A端固定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长a=70mm，C端也为铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的材料是A3钢，其λ1=104，l=3m，稳定安全系数nst=2.5；求结构的许可载荷。ABCP1.5llda解：(1)计算AB和BC杆的柔度：5.15708.05.47.044111111dlilAB14807.031121222222alilBC(2)比较和确定计算的压杆：BCAB所以AB杆的稳定性比BC杆差，选AB杆计算；(3)稳定性计算：,pABAB是细长压杆；stcrnPdEPPn4222kNnEdPst1605.25.157408.01020042293223三、提高压杆稳定性的措施1．理论根据：提高临界压力的值；2．细长压杆：临界压力公式：ilEcr22减小压杆的支承长度；改变压杆两端的约束；选择合理的截面形状；保持压杆的等稳定性；3．中柔度杆压杆：选择高强度的材料；4141021cm6.25,cm3.198,cm52.1,cm74.12yzIIzA41cm6.3963.19822zzII])2/([22011azAIIyy])2/52.1(74.126.25[22a时合理即2)2/52.1(74.126.253.189:a例6图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢图示组合之后，cm32.4aPLz0yy1zC1a5.1061074.122106.39667.0267.0481AIiLz3.9910200102006922PpEkN8.443)67.00(106.396200)(2222lEIPcr求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。两端铰支固定—铰支两端固定固定—自由