第三章古代中国数学

长治学院数学系副教授:秦少青中世纪中国数学希腊几何的演绎精神随着希腊文明的衰微而消失，之后便是漫长的东方数学时期，除了埃及外，河谷地区再次成为数学的活跃舞台，而主角换成了中国、印度与阿拉伯。我国古代数学是自己独创发展起来的.她不像古希腊文化那样用几何图形来构造世界，我国数学一开始便注重实际，注重数与形的结合，从实践中逐步发展完善起来1.算术、算学、数学等名称的起源。数学，我国古代叫做算术，后来又叫算学，又叫数学，近几十年来才确定统一叫做数学。算术：一般是指计数、数的初等运算及一些几何学中的应用。如自然数、分数、小数的四则运算、乘方、开方等运算。古代“算”字有三种写法：筭,算，祘。许慎《说文解字》作如下解释：“筭”，长六寸，计历数者。从竹从弄，言常弄及不误也。“算”，数也。从竹从具，读若“筭”。“筭”或“算”都是一种竹制的工具，是几寸长的竹鉴，也叫做筹码。用来记数、计算或卜卦。摆弄这些“算”有一套技术或学问，自然就叫做“算术”或“算学”。“祘”由两个“示”字合成。《说文》解释“示”字说:“示”，神事也。“二”是古文的上字。三竖（后写成一竖两点）是日、月、星。古人以为天上有神灵，神的表示是从上面下来筹同时也来占筮凡属鬼神的字多用“示”字旁，如：保祐，祷告，祈祷，坐禅，祠堂祝福禄祸等。记数历史演变：手指记数石子记数结绳记数、刻痕记数。《周易·系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”之说，“结绳而治”即结绳记数，“书契”就是刻划符号。不够用时不够用时保存困难中国的筹算数码：（公元前500年左右）：纵式横式123456789用两套方法表示是为了避免把12这样的数错写为3,如12写为而3写为而交替使用两套,即在10的奇数幂位置上用横式,10的偶数次幂上用纵式,这样12写出来就是以下数分别写为:4311325682甲古文“”字是“数”的出处，它是结绳计数的像形。左边是一根打了许多结，上下是散乱的绳头，右边似“”就是右手。所以整个字反映了用手结绳记数的形象。“算”，有数学史学家考证甲骨文或金文中从未发现过这个算字.因此它的出现年代不可能早于公元前三世纪。无论如何“算术”这个名称的使用在汉代已经很通行。正式的使用是《九章算术》一书。它的涵义是指当时的数学全体和现代算术的意义不同.宋、元两代，我国数学发展达到高峰，那时“算学”和“数学”这两个词是并用的。宋代朱世杰《四元玉鉴》（1303年）的序中就同时使用这两个词：“松庭先生以数学名家，周游湖海二十余年矣，…方今尊崇算学，科目渐兴…。”算学、数学并用的情况，在我国一直延续了几百年，1935年“中国数学会名词审查委员会”仍主张两词并存。1939年6月，为了划一起见，我国才确定用“数学”而不用“算学”。2.“数学”的定义“数学”的拉丁文、希腊文都是科学或知识的意思，随着时代的发展，它的涵义才逐渐明确起来。数学最显著的特点之一是体系的严谨性，它要求每一个概念（除少数的基本概念外）都要给出明确的定义。在历史上，数学有过如下种种定义：“数学是量的科学”——这个最古老的定义由古希腊哲学家亚里士多德给出。“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。”——19世纪德国哲学家恩格斯给出。“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的科学”——20世纪50年代苏联人给出。“数学这个领域已被称作模式科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。——20世纪80年代美国数学家。“数学是研究数量关系和空间形式的科学”数学是由基础和应用两部分组成的，前者追求真和美，后者的重要性在于各方面的应用。3.古代中国数学我国数学文化至少是从黄帝时代（约公元前2700年）开始的。相传大挠发明甲子，垂创造规矩。大挠是黄帝的老师，垂也可能是黄帝时代的人。考古学家发现这个时期的陶器都有各种几何图形。3.1我国是十进制、位值制使用最早的国家。我国河南安阳发掘殷墟甲古文（前1400年）及周代金文证明：在殷代已确定十进位制，并采用“十进位制”的先进记数法，当时已有了到万的数字记录。我国至迟在春秋战国时代就已经能熟练地运用十进位制算筹记数法，它和现在通用的十进位制笔算记数法是一样的。3.2我国最早使用的数学工具是规和矩。规就是圆规，用来画圆；矩就是丁字尺或直角三角板，用来画方。“规”与“矩”又相传为伏羲氏所造，在山东嘉祖县武梁祠的石碑上刻有汉代一幅蛇身人面画像，伏羲氏手执矩，女娲手执规。司马迁在《史记》里有大禹治水:“左准绳”“右规矩”的记载。“准”是测水的工具，“绳”是测垂直的工具。3.3《周易》中的数学文化《周易》并不是一部真正意义上的数学书，而是中国人在长达数千年的时间里用来决定重要行动的占卜书。但如今人们从中挖掘到的数学文化内容之丰富、之神秘可与任何一部数学经典著作比美。3.4算经十书：《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《数书九章》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张邱建算经》《五经算术》《缉古算经》《海岛算经》(1)《周髀算经》《周髀算经》作者不详，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期.书中渉及的数学、天文知识有的可以追溯到西周（公元前11世纪——前8世纪）。里面记载了周公向大夫商高请教：古时伏曦氏是如何测量天文和制定历法的，天既没有供攀登的台阶，地也不能用尺子去测量，那么，这些数是从哪里得出来的呢？商高解释说：数是根据圆形和方形的数学道理计算得来的。圆来自方，而方来自直角三角形。还说：将一线折三段围成直角三角形，一条直角边（勾）为3，另一条直角边（股）为4，则斜边（弦）就是5。这就是我国最早的关于“勾股定理”的记载当周公向商高求教“矩”（三角尺）的用法时，商高回答说：把矩放平了，可测定水平和垂直方向；把矩立起来，可测量高度；把矩翻过来倒置，可以测量深度；把矩卧在地面，可以测量水平距离；将矩环转一周，可以得到圆形；将两矩合起来，可以得到长方形。商高关于“环矩以为圆”的论述，即:立于直径上的圆周角为直角这一定理的发现，比古希腊数学家泰勒斯早五、六百年。《周髀算经》的数学内容主要有：①在算术方面记录有分数的乘除法，公分母的求法以及分数的应用。②在历法上用“四分历”法。讨论了日影的测量，并列出一年各个节气的日影长度表。③可以看到等差级数的演进次序。例如，二十四节气的日影长：从夏至到冬至，从1350分到160分，每次递减99分；从冬至到夏至，从160分到1350分，每次递增99。其中10分=1寸，10寸=1尺，10尺=1丈。④勾股定理的建立。《周髀算经》:一方面它是现存最早的天文数学著作，总结了古代天文学中所应用的数学知识，有些内容证明了我国数学在世界数学史上发现最早，对后代数学产生过积极影响；另一方面在于它讨论天地现象时丝毫不带迷信色彩，在占卜星相占统治时期，这确是了不起的事！（2）《九章算术》《九章算术》是中国古典数学中最重要的著作。它的确切写作与起始年代已不可考。作为中国古代数学的集大成者，这一著作应当说经历了许多不同年代的修改和补充才逐渐成为一种模式如果说《几何原本》集中地体现了古希腊的数学传统；中国古代特有的数学传统在《九章算术》中有着典型的表现。《九章算术》以方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股共九个类型的实践应用性问题分成九章。每一个具体问题提出后，给出答案，在相同的一类问题上用“术”的形式给出具体的算法。全书共计246个问题，202个具体的计算方法——“术”。《九章算术》的主要内容如下：第1章：方田38题21术平面形田地面积的计算及与面积有关的分数四则运算。第2章：粟米46题33术计算各种粮食兑换问题；砖、竹、漆、丝、布等生产、生活资料的买卖问题；比例问题。第3章：衰分20题22术按一定比例进行分配物品、税收、罚款、计工、贷款利息，粮食买卖等。第4章：少广24题16术（开方术）关于求矩形、圆形、立方体、球体等求积问题。（开启了中国古代解一元高次方程的先河。）第5章：商功28题24术（阳马术）土方工程的计算。筑城、开渠、开运河、修堤坝、建粮仓等的应用问题。（开创了中国古代数学中独特的数学证明方法。）第6章：均输28题28术“均输平准”政策——按地区人口多少、路途远近、生产的粮食种类、交纳实物或摊派徭役的计算方法。第7章：盈不足20题17术“盈不足术”的应用问题，解决盈亏问题的一种计算方法。第8章：方程18题19术算筹摆法解线性方程组，相当于现在利用线性方程组系数增广矩阵变换的方法。第9章：勾股24题22术用勾股定理解应用问题，开创直角三角形相似来进行测量计算，解决关于高度、深度和广度的各种测量计算问题。《九章算术》是中国古代数学的典范，它总结了历史上积累下来的数学知识和方法，并进行了有目的的分类整理；同时对筹算竹棍运演排列的操作性方法给出了具体的程序，用“术”的形式给出了方法模式。《九章算术》“方程卷”第七题：“今有牛五、羊二值金十两，牛二、羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”列方程得：解这一解法相当于求解二元一次方程组的矩阵消元法。8521025yxyx2040425101010825522251列列2134212001101052421列列中国的盈不足术问世后，经丝绸之路传至阿拉伯国家，在那里被称为契丹算法（契丹，中国古代北方一个少数民族），后又传入欧洲。13世纪著名意大利数学家斐波那契明确指出了这种方法的源自中国。例如求的实根近似值便是盈不足术。0)(xf（3）《张邱建算经》与百鸡问题《张丘建算经》大约成书于公元466——485年间，作者张丘建是北魏时人。“百鸡问题”是数学史上的一道名题，它即妙趣横生，又深奥难解，在世界上流传广泛。“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三直钱一。凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”相当于张邱建得解为：（1）（2）（3）1003135100zyxzyx78184zyx81118zyx84412zyx13世纪意大利斐波那契《算经》，15世纪阿拉伯阿尔.卡西《算术之钥》中均出现相同的问题。（4）《缉古算经》《缉古算经》作者王孝通是唐初人。大约完成于公元625年左右，是唐代的数学教科书之一。《缉古算经》也是一本实用问题集，列举了28个形如：的正系数方程及有理根，但没有解法。cqxpxx23《缉古算经》是世界上最早讨论三次方程组代数解法的著作。其中的用几何方法列三次方程解应用题是一个辉煌的成就，这不仅是中国现存典籍中最早记述，在世界数学史上也是关于三次方程数值解法及其应用系统的最早论述。4、刘徽和祖冲之父子公元220年东汉分裂，到580年隋朝建立，史称魏晋南北朝，这是中国历史上的动荡时期。魏晋南北朝是中国数学史上一个独特而丰产的时期，而最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。（1）刘徽的数学成就刘徽，公元3世纪魏晋时人，其他不详。公元263年撰写《九章算术注》，刘徽最突出的成就是“割圆术”和体积理论。①“割圆术”：计算圆周率的近似值。“割圆术”：闪烁着极限思想的光辉刘徽用割圆术从正6边形算起边数逐次加倍，……直到192边形，得到：后又算到圆内接正3072边形的面积，求得：142704.3141024.31416.312503927＝＝②在理论上明确了分数的性质，是世界上最早提出十进分数概念的人。③对正、负数给予了较明确的定义及运算法。④创造了“割补术”，利用“出入相补的原理”。论证了立体图形的体积公式。刘徽在《九章算术注》中对所有的命题都给出了证明或说明。⑤刘徽的《九章算术注》的第十章又称为《海岛算经》后来被单独刊行。