高中三角函数典型例题(教用)

【典型例题】：1、已知2tanx，求xxcos,sin的值．解：因为2cossintanxxx，又1cossin22aa，联立得，1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx2、求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(的值。解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tan3、若,2cossincossinxxxx，求xxcossin的值．解：法一：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx得到xxcos3sin，又1cossin22aa，联立方程组，解得，，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx，所以22)cos(sin4)cos(sinxxxx，所以xxxxcossin84cossin21，所以有103cossinxx4、求证：xxxx2222sintansintan。5、求函数)6π2sin(2xy在区间]2,0[上的值域。解：因为]20x，所以20x，67626x由正弦函数的图象，得到1,21)6π2sin(2xy，所以2,1)6π2sin(2xy6、求下列函数的值域．（1）2cossin2xxy；（2）)cos(sincossin2xxxxy)解：（1）2cossin2xxy=3)cos(cos2coscos122xxxx令xtcos，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222ttttyt利用二次函数的图象得到].413,1[y(2))cos(sincossin2xxxxy=)cos(sin1)cos(sin2xxxx令xxtcossin2)4πsin(x，则]2,2[t则,12tty利用二次函数的图象得到].21,45[y7、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。解：由最高点为)2,2(，得到2A，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是41个周期，这样求得44T，T=16，所以8π又由)28πsin(22，得到可以取).4π8πsin(2.4πxy8、已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若],2π,0[x求f(x)的最大值、最小值．数xxycos3sin1的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[x，则]4π3,4π[)4π2(x，所以当x=0时，f(x)取最大值为;1)4πsin(2当8π3x时，f(x)取最小值为.29、已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。10、求函数21sincos(sincos)yxxxx的值域。解：设sincos2sin()[22]4πtxxx，，则原函数可化为22131()24yttt，因为[22]t，，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3[32]4y，。11、已知函数2()4sin2sin22fxxxxR，；（1）求()fx的最小正周期、()fx的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数()fx的图像关于直线8πx对称。解：22()4sin2sin222sin2(12sin)fxxxxx2sin22cos222sin(2)4πxxx(1)所以()fx的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2242ππxkπ，即38πxkπ时，()fx最大值为22；(2)证明：欲证明函数()fx的图像关于直线8πx对称，只要证明对任意xR，有()()88ππfxfx成立，因为()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，所以()()88ππfxfx成立，从而函数()fx的图像关于直线8πx对称。12、已知函数y=21cos2x+23sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21cos2x+23sinx·cosx+1=41(2cos2x－1)+41+43（2sinx·cosx）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x·sin6+sin2x·cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以y取最大值时，只需2x+6=2+2kπ,（k∈Z），即x=6+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=6+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6)的图像；（iv）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到y=21cos2x+23sinxcosx+1的图像。