等腰三角形的分类讨论

1初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。一.遇角需讨论例1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A.30°B.75°C.105°D.30°或75°简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。二.遇边需讨论例2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。三.遇中线需讨论例3.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得,1221,921yxxx或.921,1221yxxx解2得,9,6yx或.5,8yx即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。四.遇高需讨论例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。例5.为美化环境，计划在某小区内用230m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。简析：在等腰ΔABC中，设AB=10m，作CD⊥AB于D，由3021CDABSABC，可得CD=6m。如下图，当AB为底边时，AD=DB=5m，所以)(6122mADCDBCAC。如下图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，mACAB10，所以)(822mCDACAD，)(102,222mBDCDBCmBD。3如下图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，mBCAB10，)(822mCDBCBD，所以)(106,1822mADCDACmAD。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。五.遇中垂线需讨论例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=21（180°－40°）=70°。如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=21（180°－140°）=20°4故这个等腰三角形的底角为70°或20°。说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。六.和方程问题的综合讨论例7.已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程023)32(22kkxkx的两个实数根，第三边BC长为5。（1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。简析：（1）经计算，⊿=1，x1=k+1,x2=k+2。由勾股定理得k=2。（2）若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。方程023)32(22kkxkx可化为0)1)(2(kxkx，即21kx，12kx，显然21xx，即ACAB。当AB=BC或AC=BC时，5是方程023)32(22kkxkx的根。当5x时，代入原方程可得01272kk，解得31k，42k。当3k时，原方程的解为4,521xx，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，4，周长为14。当4k时，原方程的解为5,621xx，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，6，周长为16。所以当3k或4k时，ΔABC是等腰三角形，周长分别为14或16。七、找点构造等腰三角形需讨论例8在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点P，使ΔAOP为等腰5三角形，则符合条件的点P共有（）A、4个B、6个C、8个D、1个解：（1）、如图一，以OA为腰，以O为顶角顶点时，只须以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴分别交于P1（2,0）P2（0,2），P3（2,0），P4（0,2），分别连接P1A，P2A，P3A，P4A，可得到四个等腰三角形ΔOAP1，ΔOAP2，ΔOAP3，ΔOAP4（2）、如图二，以OA为腰，以A为顶角顶点时，只须以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴分别交于P5（2,0）P6（0,2），分别连接P5A，P6A，可得到两个等腰三角形ΔOAP5，ΔOAP6，（3）、如图三，当OA为底时，作OA的中垂线分别与坐标轴相交于P7（1,0），P8（0,1）。答案：选CPPP444PPP333PPP222PPP111AAAOOO图图图一一一PPP666PPP555AAAOOO图图图二二二AAAPPP777PPP888OOO图图图三三三