理论力学(陈世民)答案

第零章数学准备一泰勒展开式1二项式的展开m23mm-1mm-1m-2fx1x1mx+xx23！！2一般函数的展开230000000fxfxfxfxfxx-xx-xx-x123!！！特别:00x时,23f0f0f0fxf0123!xxx！！3二元函数的展开(x=y=0处)00fffxyf0x+yxy，22222000221fffx2xy+y2xxyy！评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。二常微分方程1一阶非齐次常微分方程：xxy+Py=Q通解：PxdxPxdxyecQxedx注：,PxdxPxdxQxedx积分时不带任意常数，xQ可为常数。2一个特殊二阶微分方程2yAyB通解：02By=KcosAx+A注：0,K为由初始条件决定的常量3二阶非齐次常微分方程xyaybyf通解：*yyy；y为对应齐次方程的特解，*y为非齐次方程的一个特解。非齐次方程的一个特解（1）对应齐次方程0yayby设xye得特征方程2ab0。解出特解为1，2。*若12R则1x1ye，2x2ye；12xx12ycece*若12R则1x1ye，1x2yxe；1x12ye(cxc)*若12i则x1yecosx，x2yesinx；x12ye(ccosxcsinx)（2）若2000xfaxbxc为二次多项式*b0时，可设*2yAxBxC*b0时，可设*32yAxBxCxD注：以上1c,2c,A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。三矢量1矢量的标积xxyyzzAB=BA=ABcos=AB+AB+AB注：常用于一矢量在一方向上的投影2矢量的矢积nxyzxyzijkAB=-(BA)=ABsine=AAABBBxyzyzxxzxyyx(ABAB)i(ABAB)j(ABAB)k四矩阵此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。111122133211222233311322333axaxax0axaxax0axaxax0令111213212223313233aaaDaaaaaa*D=0时，方程组有非零解*D0时，方程只有零解第一章牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。【要点分析与总结】1质点运动的描述（1）直线坐标系rxiyjzkrxiyjzkarxiyjzk（2）平面极坐标系rr2rrrererea(rr)e(r2r)e（3）自然坐标系t2tnevaee（4）柱坐标系2tnzvaeeeeze〈析〉上述矢量顺序分别为：rktnbzi,j,k;e,e,e;e,e,e;e,e,e.矢量微分：rkrkrkkkdeeeedtdeeeedtdeee0dt（其它各矢量微分与此方法相同）微分时一定要注意矢量顺序2牛顿定律惯性定律的矢量表述22drmamFdt（1）直角坐标系中xyzFmxFmyFmz（2）极挫标系中2rkFm(rr)Fm(r2r)F0（3）自然坐标系中2nbFmFmF03质点运动的基本定理几个量的定义：动量Pm角动量LrmrP冲量21IPP力矩MrF冲量矩21t21tHIIMdt动能21Tm2（1）动量定理dPFdtˆe方向上动量守恒：dPˆˆeFe0dt（2）动量矩定理dLMdt（3）动能定理ddTFmdtdt4机戒能守恒定理T+V=E〈析〉势函数V:VVVdVdxdydzFdrxyzVVVF(ijk)xyz稳定平衡下的势函数：0xxxdV0dx;02xxxdV0dx此时势能处极小处mV且能量满足MmVE00EVE质点再平衡点附近振动质点逃逸-质点逃逸+【解题演示】1细杆OL绕固定点O以匀角速率转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为d，如图所示。求小环的速度和加速度a。解：依几何关系知：xdtan又因为：222ddxxiiicosd故：22222(dx)xa2xxiidd2椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线Oχ与Oy滑动，已知B端以匀速c运动，如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。解：依题知：By(bd)cos且：ByC(bd)sin得：C*(bd)sin又因M点位置：MMxbsin,ydcos故有：MMMxi|yjbcosidsinj代入（*）式得：Mbccotdcijbdbd即：222cbcotdbd2MM222bcbcaii(bd)sin(bd)sin3一半径为r的圆盘以匀角速率沿一直线滚动，如图所示。求圆盘边上任意一点M的速度和加速度a（以O、M点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。解：设O点坐标为（0Rtx,R）。则M点坐标为（0RtxRsin,RRcos）故：MMMxiyj(RRcos)iR222MMaRsiniRcosjR(sinicosj)4一半径为r的圆盘以匀角深度ω在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。解：依题知：rrRrRr且O点处：krecos()esin()e则：MOOOMRrrrrr(Rr)ere[(Rr)cos()r]e(Rr)sin()eMMrrrrr()sin()e[(Rr)cos()r]e(Rr)()cos()e(Rr)sin()ersin()er[1cos()]errrr2rar()cos()ersin()er()sin()er[1cos()]ercos()ersin()ererrRrcos()ersin()eRr5已知某质点的运动规律为：y=bt,at,a和b都是非零常数。（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度和加速度a。解：b1yrsinbta得：rbrcscear2basinacosb2reaeasinasinrb1coteesin6已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是λr和µθ，这里μ和λ是常数。求出质点的加速度矢量a.解：由题知：rree且：rr,r故：rrarereeerre(r)e222r(r)e()err7质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。证明：设速度为e。则：22nndaeeedt由于e与ne为正交矢量。即得证。8一质点沿心脏线r(1cos)以恒定速率v运动，求出质点的速度和加速度a.解：设rrreresine1cosre且有：222[sin][1cosr]解得：2cos2得：rsinsin,rcos22则：r(sinecose)22rr11acosesinesinecose2222222r3(etane)429已知质点按tre,t运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。解：（1）极坐标系下：由tre,t得：tre,且设：rrere则：22rrrerere得：r2222rreeerrrrnr2222rreeerrrr2rrarere(rr)ere22ttr(r)ee2ee则：径向与横向的分量分别为22t(r)e，t2e。10质点以恒定速率C沿一旋轮线运动，旋轮线方程为xR(sin),yR(1cos)。证明质点在y方向做等加速运动。解：依题意：222222222CxyR(1cos)Rsin得：C2Rcos2则：2yayR(cossin)22231sinsinCcos22()4Rcoscos22222222cossinsinC222()4Rcoscos222C4R11一质点沿着抛物线2y2px运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点p(,p)2以速率u出发，求质点到达正焦弦的另一端点p(,p)2时的速率。解：建立自然坐标系有：2ndaeedt且：2ddsdsd2k2k2k2kdsdtdtdtdtdd2kd积分得：2kue（代入0u）又因为：2y2px在p(,p)2点处斜率：px211px2d2pxdypk1dxdx2x在p(,p)2点处斜率：px222px2d2pxdypk1dxdx2x故：21arctankarctank2即：kue12竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。解：设空气阻力为f，且小球初速为，质量为没，则有：上升时间：1tfgm上升高度：2hf2(g)m下落时间：20222212htafgm得：22212ffggtmm1fft(g)gmm即得证。13质量为m的质点自离地面h高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C，试讨论此质点下落过程中的运动状况。解：设加速度为a，速率为，则：2mamgCm得：2ddtCgm积分并代入t0时0有：gC2tmmg2(1)C1egC2t2m4ga0(1e)gCgCgC2t2t2t3mmmgCa8ge(1e)(1e)0m知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。14将一质量为m的质点以初速度0与水平线成角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的mk倍，这里k是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为角度时所需时间。解：依牛顿第二运动定律有：,xxyymmkmmgmk积分并代入初始条件：0t时：0000sin,cosxy解得：00cos,(s