清华大学2009年春概率论与数理统计期末考题

-1-清华大学本科生考试试题专用纸考试课程：概率论与数理统计考试时间：2009年6月18日姓名学号200班级.A一、填空题（20分，每空2分）1.若事件A、B独立，则以下命题不正确的是___________。(A)A与B一定独立(B)A与B一定独立(C)AB与AB一定独立2.若随机变量X的分布函数连续，则____________。(A)X一定为离散型(B)X一定为连续型(C)以上选项都不对3.如果随机变量X的期望存在，()3.02=-XP，()4.04=XP，则_________。(A)XEEX=(B)XEEX(C)XEEX(D)条件不足无法判断4.nxxx,,,21L()1n是来自正态总体()2,smN的简单随机样本，nxxxxnL++=21，()∑=--=nkkxxns1211。则下列关系正确的是____________。(A)()ssE(B)()ssE(C)()s=sE(D)不确定5.随机变量X服从几何分布()25.0Ge，则()=≥4XXE_______________。6.二维随机变量()()1/3,4/1,1,0,0~,NYX，设YXU2-=和YXV2+=，则VU,_________(填“独立”或“不独立”)，()==02VUE_________________。7.设随机变量()1,0~NX，则随机变量2XY=的概率密度函数()=ypY__________________。8.2521,,,xxxL是来自正态总体()4,mN的简单随机样本，x是样本均值。对假设检验问题3:0≥mHVS3:1mH。若取拒绝域为487.2x，则检验的显著性水平为____________，当91.1=m时，该检验犯第二类错误（受伪）的概率=______________。二、（14分）盒中共有5个乒乓球，都是新球，每场比赛从中任取1个使用，比赛后仍放回盒中。1.求第3场比赛用球在前两场比赛都未使用过的概率；2.如果已知第3场比赛用球在前两场比赛都未使用过，求第3场比赛前盒中恰有4个球尚未使用过的概率。三、（24分）设YX、独立同分布，都服从期望为1的指数分布。令()YXU,max=，()YXV,min=。1.求()VU,的联合概率密度函数；2.求VU、的期望和相关系数；3.证明：VU-和V相互独立。-2-四、（18分）设nXXX221,,,L相互独立，且均服从均匀分布()1,0U，定义随机变量⎩⎨⎧+=-其他,01,422212kkkXXY，nk,,2,1L=。1.对于任意给定的正整数n，证明随机变量nYYYYn+++=L21是期望等于p；2.试用中心极限定理估计，当400=n时，Y与p的绝对误差Y-p不大于0.1的概率（结果用标准正态分布函数()⋅Φ表示）；3.利用Chebyshev不等式估计，n取多大时能够保证有90%以上的把握使Y-p不超过0.1？五、（12分）设总体X的概率密度函数为()()⎩⎨⎧+≤≤-+=其他,01,12;mmmmxxxp，其中m是未知参数，nxxx,,,21L是来自该总体的简单随机样本。1.求参数m的矩估计量1m)和极大似然估计量2m)；2.问1m)和2m)是否为参数m的无偏估计量，如果估计量有偏，则将其修正为无偏估计量。六、（12分）设某企业的每日赢利（单位：万元）服从正态分布),(2smN。1.如果方差92=s，对期望作置信度95％的双侧对称置信区间估计，欲使置信区间的长度不超过2，至少应该取容量多大的样本？2.如果方差未知，随机抽测9日，得数据的均值和标准差分别为40.5万元和1.2万元.依据抽测数据.试以95％的把握估计最小平均赢利。附表)(2025.0nc)(205.0nc)(295.0nc)(2975.0nc()nt95.0()nt975.08=n2.1802.73315.50717.5351.85952.30609=n2.7003.32516.91919.0231.83312.2622x1.2821.4401.6451.9602.326标准正态分布的分布函数()xΦ0.9000.9250.9500.9750.990