清华大学概率论与数理统计复习ppt

121810101121200391242(),(;,),,,,,nXxFxxxXXXXL五、(本题分)设随机变量的分布函数为：，其中参数设，是来自的简单随机样本，（）当时，求未知参数的矩估计量；（）当时，求未知参数的极大似然估计量考题（级；（）当时，求未知参数的极大似然估计量。学时）题型分析一、有关矩估计法及极大似然估计法方面的题型111111011,(),()(),XxfxxxEXxfxdxxdxXx解：（）当时，的概率密度函数为：1ˆ.XX解得的矩估计量为112121120,,(,,)()()(),nniinixinLfxxxxLL（）似然函数为：其它111,ln()ln()lnniiixLnx当时对数似然函数为10ln()lnniidLnxd令1ˆlnniinX解得的极大似然估计量为232312132202120,(),,,(,,)()()(),nnniiniXxfxxxxinLfxxxxLL（）当时，的概率密度函数为：似然函数为：其它12,()ˆmin{,,,}inxLXXXK当时越大，越大，所以的极大似然估计量为2120001222008,(),,,,nXxxfxXXXL三、(本题14分)设随机变量的概率密度为：，其中未知参数其考题（级他是来自的样本，求（）的矩估计；（）的极大2似4学时）然估计。2201122132332()()()ˆxEXxfxdxdxEXAXX解：，令，得为参数的矩估计量。221112222012(,),(,,,)()ˆmax{,,,}.nnniiiiniinxLxxxinLXXXLL似然函数为:，而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为132000P80[,](),,nXXXXL考题（级48学时）三、(本题10分)设总体在上服从均匀分布，其中未知，()为来自总体的样本，求的矩估计量。（见教材127-128的例6.2)2120042008(),(),,,,xnXexfxxxXL考题（级48七、(10分)设某种元件的使用寿命的概率密度为，其中为未知参数其他又设是的一组样本观察值，求参数的极大学时）似然估计。121212212012020()(,),,(,,,)(,),,(,,,)(,)ln,,,,()ˆmin{,,,}.niixniiiiinnLxexinLxxinLxdLnLdxxxLxxxLLLL解：似然函数为:当；其他。当时，；取对数并求导得：=所以单调增加。因此当取的最小值时，取最大值。所以的极大似然估计为21520072000,(),,,,nXxxfxXXL六、(本题10分)设随机变量的概率密度为，其中未知参数其他是样本，求的矩估考计题（级32学和最大似时）然估计。2008（此题和级的第三大题一样的.)11011120062007,,,(,),,,,nnXXXXxfxxNxxLL七、(本题8分)设为总体的样本，的密度函数为：；其考题中未知参数其他（级64学时作业P153设为样本值中小于1的个数，求的极大似四）然估计。11101(,)(,)()ln()ln()ln()lnˆ,ˆnNnNiiiLxfxLNnNdLNnNNdnNn解：似然函数为:令=解得：所以的极大似然估计为1172006110112,,(,),,.,,nXxfxxxXXXL三、(本题14分)设总体的概率密度为：其中考题（级未知参数为来自的简单随机样本，求（）的32学时矩估计量；（）的最大似然）估计量。1111.11()(;),ˆEXxfxdxxdxxXXX解：，由于令，解得参数的矩估计量111221120(,)(,),(,,,)(),niiininLxfxxinxxxLL似然函数为:其他1111112010(,,,)(),ln()ln()ln,lnlnln,lnˆ.lniniininiiiniixinLLnxdLndLnxddXnXL当时，取对数得两边对求导，得=令可得故的最大似然估计量为1282005X10110,,,(),,(),nXXXxxfxL三、(本题8分)设为总体的样本，的密度函考题（级数为：其他求224学时参数的极大）似然估计。1292005X,,,nXXXL三、(本题8分)设为服从泊松分布()的总体的一个样本，求考题（级256学时的极大似然）估计量。1210200410101(),,(),,,,nXxxfxXXXXnL三、(本题8分)设总体的概率密度为：其它其中是未知参数，为总体的一个容量为简单随机样本，求参考题数的极（级3大似然2学时）估计量。2005这个题目和级224学时的类似。200121004520037N(,),5%105%;2004%12009.%,.%,..xsHH四、(本题分)测定某种溶液中的水分，它的个测定值给出样本均值为：样本均方差为：设测定值总体服从正态分布试在显著水平下，分别检验假设（）：（）：考题（级24。学时）二、有关区间估计及假设检验方面的题型01105%05%..HH解：（）检验：，：，021()/xHttnsn的拒绝域为：0025241019226..()().,/xttntsn经计算：0H故拒绝012004%004%..HH（）检验：，：，22200975212222002522119271191902..()()().()()().nsHnnsn的拒绝域为或221770().ns经计算：0H没有落在拒绝域中，故接受100501.250.802022000~N(,1924),12095.,,.ln().XYXXEX七、(本题分)假设，是来自总体的简单随机样本值，已知（）求的数学期望；（）求的置信水平为考题的（级学时）置信区间；222112221211122()[()]()()()YyyyyEXEeefydyeedyeedye解（）22211,yzyznn（）的置信区间为：，10512508204(ln.ln.ln.ln)y098098(.,.)故总体均值的置信区间为2121022222232209750025(,),2109521095927091902320830,..~,,,.~(),().(().,().).XNxxxsXXYDL四、(本题14分)设总体且是样本观察值，样本方差（）求的置信水平为的置信区间；（）已知求的置信水平为的置信考题（级24学；时）区间2220025097510951818094626666799...,..()()解：（）的置信水平为的置信区间为：，即为（，）；22232222223222112212220300021137[()],..XXDDDXD（）；由于是的单调减少函数，置信区间为，即为（，）。11021,0221121651420000908,,~(),(),.niiXXXXUXnhhL五、(本题10分)设总体服从参数为的指数分布其中未知，为取自总体的样本，若已知求（）的置信水平为的单侧置信下限；（）某种元件的寿命（单位:）服从上述指数分布，现从中抽得容量为的样本，得样本均值为试求元件平均寿命的置信水平为考题的（级24学时）单侧置信下限。222121212(),,()nXPnnXPnQ解：（）22221650102376470642585()..nXn即的单侧置信下限为（）20025002520975(10,1)1010.8120059226229190239270520080...~/),./)(.,().,().,().)XNmgLmgLt六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，今阶段性抽取个水样，测得平均浓度为（标准差为（考题（级24学时,作业题，问该工厂生产是否正常？）220122201111 () HHnS解（：）检验假设：，：；取统计量：2220975122220025219270119023..()().().nn拒绝域为：或，2222020219121296112962700190231()...(.,.)nsH经计算：由于，故接受，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为。012101010910 ~()/HHXttS（）检验假设；：，：取统计量：0025922622.().tt拒绝域为0108102102822622121010mgL....//tHQ，所以接受，即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是（）。综上，认为工厂生产正常。220025X~N(10,)1010.81200592262002286./),./)(.,().,mgLmgLt六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，未知，今阶段性抽取个水样，测得平均浓度为（标准差为（，问该工厂考题（级24生产学时是否正常业？,作题））01101010110  ()/HHXttnS:解：检验假设；：，：取统计量：0025922622.().tt拒绝域为01081021028226221210..../tHQ，所以接受，可认为工厂生产正常。21234015510072526008,().()X,X,X,XX~N(,4)HH七、(本题10分)设为取自总体的样本，对假设检验问题考题（级：，：在显著性水平下求拒绝域；若，求上述检验所犯的第二类错误的24学时概率）。0025551196244. ./xxzz解（：）拒绝域为0211088926..H（）由解得接受域为（，），当时，接受的概率为89261086108892221462461461246092781099310921..{..}(.)(.)(.)[(.)].(.).PX2220025614615114913815215310182002252570619609758..,.,..,.,.,().()().,(.).)N(,)t四、(15分)某厂生产滚珠,从某天生产的产品中随机地抽取个，测得直径为，并知道珠直径服从分布，已知，求平均直径的95%的置信区间；未知，求平均直径的95%的置信考题（级48学时）区间；（已知：222101200514541509().,)..(.,.)XzXznn解：已知时平均直径的95%的置信区间；(，代入数据可得置信区间为：2222SS00514231540(),)..(.,.)XzXznn